Постройте график функции y=-x2+4

При каких значениях параметра a неравенство имеет решения?

ограничения на x:

пусть , тогда:

- график полуокружности, лежащей выше оси x с центром (0;0) и радиусом

пусть - график прямой, проходящей через (0; a), т.е. смещённый на a вверх-вниз

См. вложения (красным цветом - , синим цветом - )

график должен находиться ниже графика

При всегда найдётся такой x, что

Так будет до касания верхней части окружности (рис.2)

Определим точку касания A:

Её координаты (-1;1), а значит график функции имеет вид

Следовательно при всех a<2    имеет решения

ответ:

5cos2x + 2cosx - 3 = 0

10cos²x - 5 + 2cosx - 3 = 0

10cos²x + 2cosx - 8 = 0

10cos²x + 10cosx - 8cosx - 8 = 0

10cosx(cosx + 1) - 8(cosx + 1) = 0

(10cosx - 8)(cosx + 1) = 0

cosx + 1 = 0 или 10cosx - 8 = 0

cosx = -1 или cosx = 4/5

x = π + 2πn, n ∈ Z или x = ±arccos(4/5) + 2πn, n ∈ Z

sin2x + 14cos²x - 8 = 0

2sinxcosx + 14cos²x - 8sin²x - 8cos²x = 0

-8sin²x + 2sinxcosx + 6cos²x = 0 |:(-2cos²x)

4tg²x - tgx - 3 = 0

4tg²x - 4tgx + 3tgx - 3 = 0

4tgx(tgx - 1) + 3(tgx - 1) = 0

(4tgx + 3)(tgx - 1) = 0

4tgx + 3 = 0 или tgx - 1 = 0

tgx = -4/3 или tgx = 1

x = -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z или x = π/4 + πn, n ∈ Z

Корни x = π + 2πn и π/4 + πn однозначно не совпадают, поэтому рассмотрим корни ±arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z.

Первый корень лежит в I или в IV четверти, второй корень лежит в IV и II четверти. Тогда будем далее рассматривать только те корни, которые лежат в одной четверти - это -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.

Пусть α = arccos(4/5). Тогда cosα = 4/5 (α - угол первой четверти).

По формуле sin²α + cos²α = 1 находим, что sinα = 3/5.

tgα = sinα/cosα = 4/3:(3/5) = 4/3.

Учитывая то, что мы рассматриваем IV четверть, то sinα = -3/5; tgα = -4/3, отсюда делаем вывод, что корни совпадают.

ответ: -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.