Докажите, что число 1+1/2+1/3+...+1/m не целое

Пусть сумма ряда :

Предположим, что число - целое число и

Найдем среди чисел от 1 до m наибольшую степень двойки, то есть такую, что : , где - натуральное число.

Умножим обе части равенства на :

Поскольку число имеет максимальную степень двойки для чисел от 1 по m, то все степени двоек входящие в разложение на простые множители чисел от 1 по m, если таковые существуют, сократятся c числителем

- натуральное нечетное число.

Приведем все дроби к наименьшему общему знаменателю, но поскольку,  наименьший общий знаменатель нечетных чисел число нечетное, а все числители четные, то левая часть равенства будет выглядить так :   , где - четное число, - нечетное число.

Целое число:     является нечетным при .

Тогда :  произведение двух нечетных числе число нечетное, но число - четное .

То есть мы пришли к противоречию, а значит число - нецелое.

Если же , то - целое число.

Примечание: данное доказательство работает не только для данного ряда, но и  для любого упорядоченного ряда вида :

, если в этом ряду существует число вида ,где - простое, не делится на , причем в разложении на простые множители каждого из чисел от до  содержится не более чем - я cтепень числа , за исключением самого числа .  То есть умножаем обе части на и также рассуждаем про делимость на .

361

Объяснение:

Числа трехзначные, поэтому старший разряд у них не может быть равен нулю. Если в старшем разряде любого из чисел будет стоять любая цифра, кроме единицы, то кривое произведение окажется больше 1.

Для каждого из оставшихся двух разрядов произведение цифр должно быть равно нулю. Это возможно, если в одном числе стоит цифра ноль, а во втором – любая цифра. В противном случае для этого разряда произведение цифр окажется больше нуля, а кривое произведение чисел – больше 1.

Обозначим через "*" любую цифру, включая ноль, через "?" – любую цифру, кроме ноля. Тогда возможны такие пары чисел, дающие нулевое кривое произведение:

1) 100 и 1** ⇒ их 10·10=100 штук

2) 1?0 и 10* ⇒ их 10·9=90 штук

3) 10? и 1*0 ⇒ их 9·10=90 штук

4) 1?? и 100 ⇒ их 9·9=81 штука

Итого: 100+90+90+81=361 пара чисел.

ответ: 48

Объяснение:

Пусть количество белых шашек в некоторой горизонтали или вертикали равно x, тогда количество черных 2x, то есть всего 3x шашек.

Тогда в любой горизонтали или вертикали может быть либо 3 либо 6 шашек, ибо это единственные два числа кратные 3 среди чисел от 1 до 8.

На рисунке показано, что возможно добиться такой расстановки, чтобы в каждой горизонтали и вертикали было по 6 шашек ( 2 белые и 4 черные).

Шашку будем считать квадратной, размер шашки равен размеру клетки поля.

Цвет поля без шашки зеленый.

Таким образом, поскольку в горизонтали и в вертикали не более 6 шашек, то наибольшее число шашек на доске:

6*8 = 48