7 класс 7.1 7.2 7.4 56 бет​

найдите точку минимума функции y= -(x+2)^2(x+4)^2

 y= -(x+2)²(x+4)² =  - ( (x+2)(x+4) )²  =  - ( x² +6x+8 )²;    || (x+2)(x+4) ⇄  x² +6x+8 ||
 y ' = -2(x² +6x+8) *(x² +6x+8 ) ' =-2(x² +6x+8) *(2x +6) = - 4(x+2)(x+4)(x +3) .
 y '  = - 4(x+4)(x+3)(x+2) 
  y '         +                   -                    +                    -
(-4) (-3) (-2)
y         ↑                ↓ (убыв.)      ↑  (возр.            ↓

ответ :x = -3 точка минимума .

* * * (знаки(условно)   ↑ - функция возрастает ,  ↓ -  функция убывает * * *

При каких значениях параметра "a" уравнение  x^2-(a+4)x+2a+6 =0  имеет один корень на луче [1;∞) .

Обозначаем : t  = x -1 ⇒ x = t+1 получаем:  (t+1)² -(a+4)(t+1) +2a+6 =0 ⇔
t² -(a+2)t +a+3 =0   ,   x ≥ 1 ⇒   t ≥ 0. 
Один корень должен быть  неотрицательным.
t =0  ⇒ a = - 3 .
Уравнение t² -(a+2)t +a+3 =0 [следовательно и x² - (a+4)x+2a+6 =0 ] имеет корней, если D=(a+2)² - 4(a+3)  ≥ 0⇔ a² -8 ≥ 0 ⇒ a ∈( -∞ ; - 2√2]  ∪ [2√2  ;∞) .

Один (однократный) корень, если   a =± 2√2
При   a = - 2√2   ⇒ t=(a+2)/2 = - √2+1 < 0   не удовлетворяет  ;                           При   a = 2√2 ⇒ t = (a+2)/2 = √2+1 >  0_ удовлетворяет .

Корни разных знаков :
{ D > 0 ; a+3 < 0. ⇔ { a ∈( -∞ ; - 2√2)  ∪ (2√2  ;∞)  ; a < - 3. ⇒ a ∈( -∞ ; - 3).

 (-2√2)  2√2
(-3)

Окончательно : a∈ { -3} ∪ {2√2}  ∪ (-∞; -3) =  (-∞; -3]  ∪ {2√2} .

ответ :  a∈  (-∞; -3]  ∪ {2√2}