Найдите корень уравнения 5х/9 = 10/9

5x= 10/9 * 9; 5x=10:9 * 9 ( записываем дробью, девятки сокращаются); 5x=10; x=2

task/29465133

√3sinx + cosx = 2

* * * методом вс угла:  asinx + bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ) , где

φ= arctg(b/a)     ||  a =√3 ; b =1  ; √(a²+b²)= 2 ;  φ= arctg(1/√3)=π/6  ||   * * *

но уравнение проще √3sinx + cosx = 2 ⇔ √3)/2 *sinx +(1/2)* cosx  =1  ⇔

sinx*cos(π/6) +cosx*sin(π/6)  =1 ⇔ sin(x +π/6) =1 ⇔x+π/6=π/2+2πn , n∈ ℤ .⇔

ответ :   x =π/3+2πn , n∈ ℤ.

как не надо решать   ( однородное уравнение)

* * *  sin²α+cos²α=1 ; sin2α=2sinαcosα ; cos2α= cos²α - sin²α ;  x =2*(x/2) * * *

√3sinx +cosx=2⇔2√3sin(x/2)cos(x/2)+cos²(x/2)-sin²(x/2)=2cos²(x/2)+2sin²(x/2)

⇔ 3sin²(x/2) -2√3sin(x/2)cos(x/2 +cos²(x/2) =0   || : cos²(x/2) ≠ 0

3tg²(x/2) - 2√3tg(x/2) +1 =0  кв. уравнение относительно tg(x/2)  = t

D₁ =(√3)²-3*1=0  кратный корень

tg(x/2) = (√3)/3    * * * x /2 =arctg[(√3)/3] +πn , n ∈ ℤ  * * *

tgx =tg[2*(x/2) ] = 2tg(x/2) / [ 1 - tg²(x/2) ] = √3 .

x = π / 3+ πn ,  n ∈  ℤ.    откуда  появился второй  корень

task/29453615                                                                                                            

Вычислить :   sin( arcsin 8/15 - arcsin 8/17 )

α = arcsin 8 / 15  ;  β = arcsin 8/17    

sin(arcsin8/15)*cos(arcsin8/17) - cos(arcsin8/15) *sin(arcsin8/17)=

* * *cosα= √(1 -(8/15)² ) =√(1 -64/225 ) =√(161/225 ) =(√161) /15 * * *

* * *cosβ= √(1 -(8/17)² ) =√(1 -64/289 ) =√(225/289 ) = 15 /17 * * *

sin(arcsin8/15)*cos(arccos(15 /17)  - cos(arccos(√161) /15) *sin(arcsin8/17) =

8/15*15 /17 - (√161) /15 ) * 8/17  = (8/17)*(1 -  (√161) /15 ).