Дробно-линейная функция задана уравнением: f(x)=(ax+11)/(2x+b) a) Асимптоты функции имеют уравнения x=2, y=3. Найдите значение переменных a и b. b) Используя результаты предыдущего действия: i) приведите функцию f(x)=(ax+11)/(2x+b) к виду =n+k/(x+n); ii) найдите точки пересечения функции с осями координат; iii) постройте график функции.

Объяснение:

а) х=2 это вертикальная асимптота. Это точка разрыва, т. е. это будет та точка, в которой знаменатель равен 0, т.к. на 0 делить нельзя. Следовательно

2·2+b=0;     b=-4

y=3 - это горизонтальная асимптота. К этому значению стремится предел функции. Тогда

Применяя правило Лопиталя, будем иметь

b)

i)

Как видим, к требуемому виду функция не приводится, т.к. 3≠-2

ii) В точках пересечения с осью у абцисса равна 0. Подставляем в уравнение, находим у:

A(0;-2.75) - точка пересечения с осью у

В точках пересечения с осью х ордината равна 0. Решаем уравнение

- точка пересечения  с осью х.

iii) Дополнительно исследуем функцию в точке разрыва

Схематически строим график

Начнём "угадывать" ответ.
1. Если в числе увеличится только последняя цифра, сумма увеличится на 1 (очевидно)
2. Если только изменятся только две цифры (случай ...a99 -> ...(a+1)00) изменение суммы цифр на 9 + 9 - 1 = 18 - 1 = 17
3. Если три цифры (случай ...а999 -> ...(a+1)000) изменение на 3*9 - 1
4. Если k цифр: изменение на k*9 - 1
Итак, сумма цифр меняется либо на 1, либо на число, дающее в остатке при делении на 9 число -1 (или 8, что то же самое) 
ответ: Д.

Пример: этими числами могут быть 99...9 (224 девятки) и 100...0 (224 нуля).

Это сложные функции. К примеру на первой:
1.y=tg(x/3+10). y=f(t), где t=g(x). В данном случае f(t)=tg(x/3+10), а g(x)=x/3+10. Т.к. производная f'(t)=1/cos^2(t), а g'(x)=1/3+10, то за теоремой про производную сложной функции(y'(x)=f'(t)*g'(x), если кратко, то брать производную главной функции(тангенса) и умножать на производную того, что в нём) y'(x)=(1/cos^2(x/3+10) )* 1/3 = 1/3cos^2(x/3+10).
2. Аналогично: f'(x)=-sin(3-2x)*(3-2x)'=-sin(3-2x)*(-2)=2sin(3-2x).
3.tgx*sin(2x+5). Общий вид: (f*g)'=f'g+f*g'. Т.е.:(tgx)'*sin(2x+5) + (sin(2x+5))'*tgx=(1/cos^2(x))*sin(2x+5) + 2cos(2x+5)*tgx=sin(2x+5)/cos^2(x) + 2cos(2x+5)*tgx. (2я перед косинусом появилась из-за того, что это сложная функция, которую я описал ранее). Расписываем tgx как sinx/cosx, получаем sin(2x+5)/cos^2(x) + (2cos(2x+5)*sin(x))/cos(x). Сводим к общему знаменателю cos^2(x) = (sin(2x+5) + 2cos(2x+5)*sin(x)*cos(x))/cos^2(x)=(sin(2x+5)+cos(2x+5)*sin2x)/cos^2(x), т.к. 2*sin(x)*cos(x)=sin2x. Всё, вроде бы. Надеюсь, что понятно. :)