правильное решение отмечу лучшим надо решить задачи

Найти                                                                                                                       а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям  ;

б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с  постоянными коэффициентами .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

a)  y " + 8y ' + 7y  = 0  ;   y(0)  = 2  ; y '(0)  = 1 .

Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

k² + 8k +7  =0     D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3²   ;   √D₁ =3  

* * * очевидно  по т Виета  * * * k = - 1 корень  

k₁,₂ = - (8/2) ± 3

k₁   = -4 - 3 = - 7 ;

k₂ = - 4  + 3 = -1 .

Получены два различных действительных корня

Общее решение :  y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁  и  C₂ произвольные   константы (постоянные) .  

* * *  Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много  частных решений  * * *

Определим частное решение  удовлетворяющее заданным начальным условиям  :   y(0)  = 2 ,   y ' (0)  = 1 .

y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;

y '  =  ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)

y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) =  - 7C₁ - C₂    = 1 .

- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

{ C₁  +  C₂  = 2 ;      {-6C₁ = 2+1  ;       {C₁ = -0,5 ;                { C₁ = - 0,5 ;  

{ - 7C₁  -  C₂ =  1 .    { C₂ = - 7C₁  - 1.   {  C₂ =-7*(-0,5) -1 .    { C₂ = 2,5 .

*  *  *методом сложения  * * *

Подставим найденные значения   C₁ и C₂ в общее решение

ответ :   - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x)   частное решение  удовлетворяющее заданным начальным условиям.

- - - - - - -

б) y ' ' - 6y '  + 8y =  3e^ 4x

k² - 6k + 8   =0   ( характеристическое уравнение )

k₁   = 2 ;

k₂ =  4 .

y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x)  общее решение без правой части

Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части    у₁ =Axe^(4x) ,  у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)

8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x

2Ae^(4x) =3e^(4x )  ⇒  A =1,5   ;   y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)

y = y₀ + y₁  = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)

ответ :  C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

ay ' ' + by' + cy =0   ищем решение       y=  е^(kx)    ||   ^  → степень  ||

y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx)  ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .

a*k²*е^(kx)  + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;

е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ;        е^(kx) ≠ 0  ⇒

a*k² + b*k + c  = 0    ( характеристическое уравнение )

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *