Разложите на множители: а) 24а^4х - 6b^2х - 12а^4y + 3b^2y б) 36n - 2m^3 +18m - 4m^2n

а) (24a^4x - 12a^4y) + (3b^2y - 6b^2x) = 12a^4*(2x - y) - 3b^2*(2x - y) = (12a^4 - 3b^2)*(2x - y)

b) (36n - 4m^2n) + (18m -2m^3) = 4n*(9 - m^2) + 2m*(9 - m^2) = (4n - 2m)*(9 - m^2) = (4n - 2m)*(3 - m)*(3+m)

Решаешь как квадратное относительно х, получаешь D=-8(y+5)^2>=0 при у=-5. Подставляешь у=-5, получаешь 3(x^2+6x+9), =>x=-3. Есть еще -2ху, => ищем (ax+by)^2, причем известно, что х=-3, у=-5 , => выделяем (5x-3y)^2:

(5x-3y)^2=25x^2-30xy+9y^2.

В условии есть -2ху, а у нас -30ху, => умножаем условие на 15.

Синтез:

Умножим данное неравенство на 15:

45x^2+15y^2+60y-30xy+330.

Выделяем 25x^2-30xy+9y^2:

(25x^2-30xy+9y^2)+(20x^2+120x+180)+(6y^2+60y+150)==(5x-3y)^2+20(x+3)^2+6(y+5)^2>=0 - очевидно. Доказано!

Объяснение:

- Как определить направление ветвей параболы?

Если а>0( значение при х²  ) то ветви направлены  вверх

                         если a< то ветви направлены вниз

- Как найти координаты вершины параболы?

Сначала находим абсциссу Хв=-b/2a, потом найденную цифру подставляем в уравнение вместо х и находим Ув  

точка с координатами (Хв; Ув) и есть вершина параболы

- В каком случае квадратичная функция имеет наибольшее значение?

Если а∠0 ( значение при х²) , то функция принимает наибольшее значение в вершине

- В каком случае квадратичная функция имеет наименьшее значение?

Если а>0  , то функция принимает наименьшее значение в вершине

- Как найти наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции?

определить направление ветвей и найти координаты вешины