30 представьте выражение (a^-1+b)(a+b^-1)^-1 в виде рациональной дроби

предположим, что существует какое-либо дробное число, при возведении которого в квадрат можно получить два: (p/q)^2  = 2. при этом эта дробь несократима.

запишем уравнение так:   p^2  /  q^2  = 2.

умножим обе части уравнений на  q^2, получим:   p^2= 2q^2.

выражение 2q^2  в любом случае должно быть четным, т.  к. выполняется умножение на 2.

значит,  p^2  тоже четно.

но известно, что квадрат нечетного числа дает нечетное число (например, 5^2  = 25), а квадрат четного – четное (4^2  = 16). поэтому  p  должно иметь четное значение.

если  p  четно, то его можно представить как  p  = 2^k. тогда получим: (2k)^2  = 2q^2. или 4k^2  = 2q^2.

сократим полученное уравнение и получим: 2k^2  =  q2.

поскольку в левой части уравнения результат будет четным (т. к. происходит умножение на 2), то и  q  должно быть четным, чтобы его квадрат был четным.

но вспомним,

ранее было доказано, что и  p  четно,изначально предполагалось, что взятая дробь  p/q  несократима.

если же и  p, и  q  четные числа, то образованную ими дробь можно сократить на 2. т. е. приходят к противоречию с условием и на этом основании делают вывод, что нет рациональной дроби, квадрат которой может быть равен 2.

докажем утверждение от противного.

можно предположить, что для любых двух разных точек a и b из s найдется отличная от них точка x из s такая, что либо xa < 0,999ab, либо xb < 0,999ab.

переформулируем утверждение: для любого отрезка i с концами в s и длиной l найдется отрезок i′ с концами в s длины не более 0,999l, один из концов которого совпадает с некоторым концом i.

или, иначе говоря, i′ пересекает i.

возьмем теперь первый отрезок i1 длины l и будем брать отрезки i2, i3, …так, что ik + 1 пересекается с ik и |ik + 1| < 0,999|ik|.

все эти отрезки имеют концы в s. ломаная не короче отрезка, соединяющего ее концы, поэтому расстояние от любого конца ik до любого конца i1 не превосходит

следовательно, в квадрате 2000l × 2000l с центром в любом из концов i1 лежит бесконечное число точек s.

но из условия следует конечность их числа в любом квадрате.