Докажите, что значение выражения кратно 9 151*45+189*25

151*45+189*25

в этом выражении в каждом слагаемом есть множитель, кратный 9

45 - в первом

189 - во втором. 

сумма тоже будет кратна. 

9(151*5+21*25)

что и требовалось доказать. 

ведь это простая . гляди

 

151*45 + 189*25 = 151*5*9 + 21*9*25 = 9*(151*5 + 21*25) 

 

!

даже больше, можно найти, частное от деления (это то, что в скобках)

 

и ещё, запомни признак делимости на 9 - если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

 

пользуясь этим признаком, решение будет выглядеть следующим:

в первом слагаемом 45 делится на 9, така как 4+5=9 делится на 9, значит всё слагаемое делится на 9;

во втором слагаемом 189 делится на 9, так как 1+8+9=18 делится на 9, значит всё слагаемое делится на 9.

так как оба слагаемых делятся на 9, то и их сумма делится на 9.

 

обрати внимание на существенное отличие этих двух решений. если второе зафиксировало только факт делимости и ничего более, то первое кроме факта, дало и результат деления. обращай внимание на это, потому что, в зависимости от вопроса   нужно по-разному решать.

 

в нашей был вопрос докажи, что делится, то есть требовалось доказать факт делимости, а не найти результат, поэтому оба решения подходят.

 

Сделаем преобразование  a = 67^7 = 67*67^6=67*(66+1)^6= 67*((66+1)^2)^3=67*(66^2+2*66+1)^3=67(66*(66+2) +1)^3= 67*(66*68+1)^3= 67*((66*68)^3 + 3*(66*68)^2 +3 *(66*68) + 1)= 66*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2   +3*68) + 67= 3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2   +3*68)  + 67 a=a1+a2, a1=3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2   +3*68)  - кратно 3 a2=67 b=32^8=(33-1)^8=((33-1)^2)^4=(33^2-2*33+1)^4=(33(33-2)+1)^4= (33*31+1)^4=((33*31+1)^2)^2=((33*31)^2+2*33*31+1)^2= ((33*31)(33*31+2)+1)^2=(33*31)^2*(33*31+2)^2+2*33*31*(33*31+2)+1= 3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2)+1 b=b1+b2 b1=3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2) - кратно 3 b2=1 c=67^7-32^8 = a-b=a1+a2-b1-b2=(a1-b1)+(a2-b2) a1-b1=кратно 3, a2-b2=67-1=66=3*22 - кратно 3 т.о. исходное выражение кратно 3 можно решить менее громоздко, если сделать замену переменных м=66*68, и n=33*31, которые кратны трем, но так нагляднее.

Тут видимо имеются ввиду натуральные m. достаточно доказать что m³+3m² +5m кратно 3. тогда и сумма этого выражения и тройки будет кратна 3.применим метод мат.индукции: для m=1 m³+3m²+5m кратно 3. докажем, что если выражение кратно 3 для какого то натурального k, то и для k+1 оно тоже будет кратно 3. в самом деле: (k+1)³+3(k+1)²+5(k+1)=(k+1)[(k+1)²+3(k+1)+5]=(k+1)(k²+5k+9)=k³+5k²+9k+k²+5k+9=k³+3k²+5k+3k²+9k+9=(k³+3k²+5k)+3(k²+3k+3) первая скобка делится на 3 по предположению, со второй все ясно, значит их сумма делится на 3. из доказанного утверждения и того факта, что при m=1 выражение кратно 3 следует что оно кратно 3 для всех натуральных m. значит и m³+3m²+5m+3 кратно 3. что и требовалось.