(x+9)^2*(x+6)-5 найти наибольшее значение на промежутке [-10; -8]

сначала раскроем скобки (чтобы не мучаться со взятием производной от произведений)

получаем

(x+9)^2*(x+6)-5=(x^2+18x+81)(x+6)-5=x^3+24x^2+189x+481

теперь возьмем производную от этой функции, получим:

f'(x)=3x^2+48x+189

теперь найдем значение производной на границе нашего отрезка. получаем:

f'(-10)=3*100-480+189=9

f'(-8)=3*64+48*(-8)+189=-3

производная сменила знак, значит на это интервале она будет принимать значение 0 и в этой точке будет максимум функции, потому что если производная положительна, функция будет расти, если отрицательна, убывать. значит функция будет расти от точки x до точки x1, где f'(x1)=0, а после нее будет убывать до точки где x=-8.

найдем решения уравнения f'(x)=0, т.е

3x^2+48x+189=0

обычно квадратное уравнение, найдем d

d=48^2-4*3*189= 2304-2268=36

найдем решения уравнения:  

 

значит x1=-9, x2=-7, но т.к x2 не входит в отрезок [-10; -8], то нам подходит только одно решения x1=-9

ответ: максимальное значение функции достигается в точке x=-9 и равно оно -5.

 

примечание: вообще можно заметить, что (x+9)^2 всегда положительное, а (x+6) будет всегда отрицательном на рассматриваемом промежутке. значит чтобы функция достигла максимального значения необходимо просто сделать так, чтобы (x+9)^2*(x+6) было равно нулю. и здесь получаются 2 варианта:

1. х=-6 не подходит так как не пренадлежит отрезку [-10; -8]

2. x=-9, подходит.

но этот метод будет не универсальным, а пригодным только для этого примера.   

 

Если начать делить многочлены столбиком и аккуратно записать все коэффициенты, то из условия равенства нулю коэффициентов (чтобы остатка не было) можно записать: a+3b - 2(-3-b) = 0 -10 - b(-3-b) = 0 систему для двух a = -5b - 6 b^2 + 3b - 10 = 0 по т.виета b1 = -5 > a = 19 b2 = 2 > a = -16 ответ: при   (a  =  19 и b  =  -5) и при  (a  =  -16 и b  =  2) проверка: можно составить многочлены и выполнить x^4-x^3-9x^2 +19x-10 = (x^2+2x -5)(x^2-3x+2) x^4-x^3-9x^2 -16x-10 = (x^2+2x +2)(x^2-3x-5)

(100%+10%) =110% - будет составлять вклад через год вклад       -              х руб - 100% вклад через год - (0,5х+900) - 110% произведение крайних членов пропорции равно произведению средних 110х=(0,5х+900)*100 110х=50х+90 000 60х=90 000 х=90 000: 60 х=1500(руб) - нужно вложить, чтобы получить на 900 руб больше половины первоначальной суммы проверка: 1500*0,1+1500=1500: 2+900                   1650=1650