Сократите дробь x^2+4x-21 2x^2+11x-21

(x^3+4x^2-9x-36)/(x^3+2x^2-11x-12)

разложим числитель на множители:

x^3+4x^2-9x-36= (x^3++36)=x^2(x+4)-9(x+4)=(x^2-9)(x+4)=(x-3)(x+3)(x+4)

разложим знаменатель на множители:

x^3+2x^2-11x-12

попробуем подобрать число, при подстановке которого наше выражение равно нулю. первое такое число "-1". разделим наш знаменатель на х+1:

x^3+2x^2-11x-12  | x+1

x^3 +x^2                              x^2+x-12

            x^2 -11x

            x^2 + x

           

                        -12x-12

                        -12x-12

                       

                                        0

 

мы получили квадратное уравнение х^2+x-12,

корнями которого будут числа "3" и "-4".

итак, x^3+2x^2-11x-12=(х+1)(х-3)(х+4)

 

наша дробь примет вид (x-3)(x+3)(x+4)/(х+1)(х-3)(х+4)=(х+3)/(х+1)

ответ:  х ∈ [ 2; +∞)

Перед нами корень , значит подкоренное выражение должно быть ≥0, кроме того  под корнем дробь, значит знаменатель не должен быть равен  нулю.

Для знаменателя запишем:

х+3≠0  →  х≠ -3,

Теперь числитель ( квадратный трёхчлен) надо представить в виде произведения.

Для этого решим квадратное уравнение ( чилитель приравняем к нулю)

-х²-х+6=0 ; /*(-1) домножим на -1

х²+х-6=0 по теореме Виета корни х₁= -3, х₂=2.

Можем записать квадратный трёхчлен:

-х²-х+6=(х-(-3))(х-2)=(х+3)(х-2)

теперь запишем наши выводы в систему:

ответ: х  ∈ [ 2; +∞)

1. Область определения: D(y)= X≠ 3 , X∈(-∞;3)∪(3;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= -∞, Y(+∞)= -∞ - горизонтальная асимптота - y = 0.  

3. Разрыв II-го рода при Х = 3.

Вертикальных асимптота  - Х = 3.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.

x-3 = 2.   x = -2/3 .

5. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;3). Положительна: Y>0 - X∈(3;+∞;)  

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x).  

7. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = - 2/(x-3)² = 0. Корней - нет

8. Локальный максимум - нет.

9. Интервалы монотонности.  

Убывает: X∈(-∞;3)∪(3;+∞) - везде, где существует.  

10. Поиск перегибов по второй производной.  

y"(x) = 4/(x-3)³ = 0

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 0.    

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(3;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;3);  12. Наклонная асимптота.  

k = lim(+∞) Y(х)/x = 2/(x²-3*х) = 0 - наклон.  y = 0 - горизонтальная асимптота.

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.