Представьте в виде произведения: а)5a^2+10ab+5b^2= б)ax-4ax+4a= в)ах^2-2ax+ay^2= г)x^3+2x^2+x=

a)   5а^2+10ab+5b^2=5(a^2+2ab+b^2)=5(a+b)^2

б)   ax-4ax+4a=a(x-4x+a)

в)   ax^2-2ax+ay^2=a(x^2-2x+y^2)=a(x-y)^2

г)     x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2

 

 

Если надо решить неравенство  х²-14>0 , то левую часть можно разложить (factoring) на множители с формулы разности квадратов:

 х²-14=(х-√14)(х+√14) .

Тогда неравенство будет иметь вид  (х-√14)(х+√14)>0 .

Нулями функции  f(x)=(х-√14)(х+√14)  будут числа  х=√14  и  х= -√14 , так как при этих значениях переменной  х  функция  f(x)=0 .

Чтобы числа расставить правильно на числовой оси , надо вспомнить, что отрицательные числа меньше, чем положительные, значит на числовой оси отрицательное число находится левее, чем положительное .

(-√14) (√14)

Теперь применяем метод интервалов решения неравенств. Расставляем знаки на полученных интервалах . На этих интервалах функция сохраняет знаки .

Начинаем с правого интервала . Выбираем точку, принадлежащую интервалу (√14;+∞) , например х=100 . Подставляем это число в функцию , получим  (100-√14)(100+√14)>0 (ясно, что 100>√ 14 , поэтому 1 и 2 скобки будут положительны , значит всё произведение будет положительным) . Ставим на промежутке знак +  .

Аналогично, выбираем  х=0 ∈ (-√14;√14) . Вычисляем знак функции:

(0-√14)(0+√14)= -√14*√14<0 . Ставим знак минус .

х= -100 ∈ (-∞; -√14)  ,   (-100-√14)(-100+√14)>0 (отрицательное число  умножаем на отрицательное, получим положительное число) . Ставим знак плюс .

+ + + + + (-√14) - - - - - (√14) + + + + +

Так как неравенство задано со знаком больше (>) , то в ответ выбираем промежутки, где записан знак плюс .

ответ:  х ∈ (-∞; -√14) ∪ (√14;+∞)  .

     

2.     Если задано неравенство   (x-4)(x+3)>0 , то сначала определяем нули функции , приравняв каждую скобку 0 .

x-4=0  ⇒   x=4

x+3=0  ⇒  x= -3

Число  -3 < 4 , поэтому лежит левее на числовой оси, чем 4 .

(-3) (4)

Знаки считаем на интервалах аналогично.

х=100 :   (100-4)(100+3)>0

x=0 :    (0-4)(0+3)<0

x= -20 :    (-20-4)(-20+3)>0

Знаки:   + + + + +  (-3) - - - - - (4) + + + + +

ответ:  х ∈ (-∞;-3) ∪ (4;+∞) .  

3.  (х-3)(х+4)>0

Нули функции:  х=3 , х= -4 ,  -4 < 3  .

Знаки;   + + + + + (-4) - - - - - (3) + + + + +

ответ:   х ∈ (-∞;-4) ∪ (3;+∞) .  

(0; –2), (–2; 0)

Объяснение:

Пускай Тогда

Данная система перепишется в виде

Из первого уравнения тогда

По теореме Безу ищем целые корни такого уравнения среди делителей свободного члена, находим подходящее значение Выполняя деление многочлена на в столбик, получаем: Квадратный трехчлен имеет корни –2 и 4.

Таким образом, или Им соответствуют или

Делая обратную замену, получаем две системы: и С теоремы, обратной теореме Виета, находим пары решений первой системы: (0; –2), (–2; 0). Вторая система решений не имеет.