Докажите, что при х є (0; pi\2) справедливо неравенство cos x+x*sin x> 1

это нер-во равносильно (представим 1=+ и сгрупируем ):

sinx(sinx-x)+cosx(cosx-1)< 0 ;

на этом прможутке x :

sinx> 0

sinx-x< 0 => первое слагаемое < 0

cosx> 0

cosx-1< 0 => второе слагаемое < 0 

оба слагаемых < 0 => неравенство верное.

Любое нечётное число можно записать в виде 2n-1, где n∈z (множество целых чисел). у нас три последовательных нечётных числа. каждое последующее нечётное число на 2 больше предыдущего (например, 1, 3, 5, 7 и так далее). обозначим минимальное из наших чисел 2n-1. тогда следующее будет 2n-1+2=2n+1, а последнее 2n+1+2=2n+3. эти числа в порядке возрастания расположатся, очевидно: 2n-1; 2n+1; 2n+3. по условию : (2n+1)(2n+-1)(2n+1)=76 (2n+1)(2n+3-(2n-=0 (2n+1)(2n+3-2n+1)-76=0 (2n+1)4-76=0 8n+4-76=0 8n-72=0 n=72/8 n=9 тогда искомые числа будут: 2n-1=2*9-1=18-1=17 2n+1=2*9+1=18+1=19 2n+3=2*9+3=18+3=21

Решить уравнения :

а)√(4x² -3x -1)  = 1+x ;    ОДЗ :  x ≥  -1

4x² -3x -1  =1+2x +x²

3x² -5x -2 = 0

x₁.₂  = ( 5±√(25 +24) ) /6

x₁ =  -1/3 ; x₂   =2 .   оба  ≥  -1

ответ :  -1/3;   2 .

=================  

б) x²+ 2√(x² -3x+11) = 3x +4 ;

x²- 3x  +11 + 2√(x² -3x+11)  -15 =0  ;

замена  t = √(x²- 3x  + 11 ) ≥0

t² +2t -15 =0 ;

t₁ = - 5  < 0  _посторонний корень .  t₂ =3 .

обратная зпмена:     √(x² -3x+11) =3   ; x² -3x+11 =9 ; x² -3x+2 =0 ;

x₁ = 1  ; x₂= 2 .

ответ :   1  ; 2 .

=================  

в)  sin2x +sin6x = 4cos2x ;   [ sinα +sinβ =2sin((α+ β)/2) *cos((α -β)/2) ]

2cos2x(sin4x -2) = 0     ;   sin4x -2 ≠ 0                 [  sin4x ≠ 2 ]

cos2x =0 ; 2x =π/2 +πk , k∈ Z  ; x =π/4 +(π/2)*k , k∈ Z.

ответ : π/4 +(π/2)*k , k∈ Z .             [  (π/4)(1+2k) , k∈ Z ]

=================    

г)  (1+cos2x) /(1+sinx)  = 0 ;

2cos²x / (sinx + 1) = 0  ;

{ cos²x = 0 ; sinx  +1  ≠ 0 ;

{ cosx = 0 ;  sinx   ≠  -1 ;

sinx =±√(1-cos²x) =  ±1 ;

sinx = 1 ⇒ x =π/2 +2πk , k∈ Z.

ответ : π/2 +2πk , k∈ Z .