При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х^2-2mx+m+5=0 минимальна?

нужно найти минимальное значение, так как это формула параболы с положительным направлением ветвей, то минимумом будет вершина пораболы.

 

нехай шв. і авто дорівнює х км/год, а іі - (х + 10) км/год. швидкість зближення буде рівна х + х + 10 = 2х + 10 км/год. відстань між містами дорівнює 5(2х + 10) = 10(х + 5) км. якби другий автомобіль виїхав на 4,5 год пізніше, ніж перший, то і автомобіль проїхав би до зустрічі   відстань 10(х + 5) - 150 = 10х - 100 км за час (10х - 100)/х год, а іі автомобіль - відстань 150 км за час 150/(х + 10) год. за умовою і різниця в часі руху автомобілів, (10х - 100)/х - 150/(х + 10), становить 4,5 год. складаємо рівняння.

(10х - 100)/х - 150/(х + 10) = 4,5|·2x(x+10);

2(x+10)(10х - 100) - 150·2x = 9x(x+10);

20(x+10)(х - 10) - 300x = 9x²+90x;

20(x² - 100) - 300x = 9x²+90x;

20x² - 2000 - 300x = 9x²+90x;

11x² - 390x - 2000 = 0; d = 390² + 44·2000 = 240100; √d = 490.

x₁ = (390 + 490)/22 = 40, x₂ = (390 - 490)/22 < 0 - не задовольняє умову і.

отже, швидкість і автомобіля 40 км/год, а відстань між містами - 10(х + 5) = 10(40 + 5) = 10·45 = 450 км.

відповідь: 450 км.

сначала рассмотрю одз:

-x - 16 > 0,

√(-x) - 4 > 0,

-x > 0.            

x < -16

x < -16

x < 0              

одз: x < -16  

правила для логарифмов, используемые в решении:

сделаем замену √(-x) = t, тогда -x= t²:

возведём обе части в квадрат, при таком решении могут возникнуть посторонние корни, их нужно отсеять с одз (t+4)/(t-4) > 0 или с проверки:

проведём обратную замену:

-25 < -16 (проверка, удовлетворяет ли одз), следовательно найденный корень подходит.

ответ: -25