8. сумма двух чисел равна 25, а 30% первого числа на 7 больше 20% второго числа. эгими числами являются: а) 23 и 2; б) 21 и 4; в) 24 и 1.

х+у=25                          у=25-х

0,3х-7=0,2у        3х-70=2у          3х-70=50-2х            5х=120  х=24    у=1

1. q = b2/b1 = 10/2 = 5 по определению прогрессии: bn = b1qⁿ-¹ 1250 = 2•5ⁿ-¹ 625 = 5ⁿ-¹ 5⁴ = 5ⁿ-¹ 4 = n - 1 n = 5. ответ: 5. 2. d1 - d2= 20 d3 - d2 = 60 d1 - d1q = 20 d1q² - d1q = 60 d1(1 - q) = 20 d1(q² - q) = 60 d1 = 20/(1 - q) d1 = 60/(q² - q) 20/(1 - q) = 60/(q² - q) 20(q² - q) = 30(1 - q) q² - q = 3 - 3q q² + 2q - 3 = 0 q1 + q2 = -2 q1•q2 = -3 q1 = -3 q2 = 1 - не подходит по условию d1 + 3d1 = 20 4d1 = 20 d1 = 5 s5 = d1(qⁿ - 1)/(q - 1) = )^5 - 1)/(-3 - 1) = 5(-243 - 1)/(-4) = 5•244/4 = 305. ответ: 305. 3. используем основное свойство прогрессии: bn² = bn-1•bn+1 (член прогрессии равен среднему соседних с ним членов). (3 + 2a)(8a + 12) = (7a)² 24a + 36 + 16a² + 24a = 49a² 49a² - 16a² - 48a - 36 = 0 33a² - 48a - 36 = 0 11a² - 16a - 12 = 0 d = 256 + 4•12•11 = 784 = 28² a1 = (16 + 28)/22 = 44/22 = 2 a2 = (16 - 28)/22 < 0 (не уд. условию ) значит, при а = 2 последовательность чисел образует прогрессию. ответ: при а = 2.

итак, есть уравнение

это уравнение всегда является квадратным относительно переменной х, а значит, максимум может быть два корня. здесь это и требуется.

ситуация, когда один корень равен другому, даже если этот корень 0, не подходит. на это есть ограничение d> 0

по теореме виета мы должны получить, что сумма корней равна 0, а их произведение всегда меньше 0.

тогда получается, что

из этой системки (из 1-го уравнения) получаем, что m=0 или m=4, но из второго условия (неравенства) явно получаем, что m< 1 и поэтому m=4 не годится. осталось лишь ограничение d> 0. можно, конечно, было бы сказать, что при одном корне знак произведения всегда неотрицателен, а когда 0 корней, то вообще говорить не о чем. пути 2: либо проверить само значение m=0, либо проверить d> 0, например, если бы таких значений было бесконечно много.

почему вообще это надо делать: теорема виета работает прекрасно в любом квадратном уравнении. и вообще у уравнения n-ой степени (ограничимся здесь лишь обычными многочленами) всегда n корней по следствию из основной теоремы , правда, корни эти комплексные (множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел), так что у квадратного уравнения, на самом деле, всегда 2 корня, но не забивайте себе этим голову, просто примите к сведению, что d> 0 здесь тоже надо бы проверить (а проще гораздо проверить само m=0)

для того чтобы найти, на каких промежутках d> 0, надо решить уравнение сначала d=0. но там 4 страшных корня, 2 из которых действительные и нужны нам. так что, как показывает практика, в эти дебри лучше не лезть. но ради интереса я прикреплю картинки с формулами этих чисел. при подстановке m=0 d=12> 0, что подходит.

и ещё раз повторю, что некоторые сведения были даны, чтобы понять, что в все не просто так и иногда какие-то вещи на самом деле гораздо более глубокие, чем мы думаем.

ответ: