Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более одного корня.

8x^6+2x^2 = (3x+5)^3+3x+5a

2x^2-3x+5a=0

d= 9+40a

d> 0 (т.к. решений должно быть больше 1-го) => 9+40a> 0

 

a> - 9/40

уравнение здесь имеет вид  u3+u=v3+v, где  u=2x2,  v=3x+5a. от него можно перейти к равносильному равенству  u=v  по следующей причине. функция  f(u)=u3+u  имеет производную  f′(u)=3u2+1, которая всюду положительна. поэтому  f(u)  строго монотонно возрастает на всей области определения. поэтому её значения в различных точках не могут совпадать. таким образом, мы приходим к равносильному условию  u=v, а это квадратное уравнение  2x2−3x−5a=0. находим дискриминант, и пишем, что он положителен: в этом и только в этом случае уравнение будет иметь более одного корня.

Відповідь:

Пояснення:

   7 . f( x ) = - x³/3 + 9x²/2 - 18x + 25 .

      D( f ) = R - множина всіх чисел ;

  f '( x ) = (- x³/3 + 9x²/2 - 18x + 25 )' = - 3 * x²/3 + 2 * 9x/2 - 18 * 1 + 0 =

           = - x² + 9x - 18 = - ( x - 3 )( x - 6 ) ;

a = - 1 < 0 , ( вітки параболи напрямлені вниз ) . Вершина параболи  

      х₀ = ( 3 + 6 )/2 = 4,5 ;  у₀ = - 4,5² + 9* 4,5 - 18 = 2,25 .

      ( 4,5 ; 2,25 ) - вершина .

     Проміжок зростання :  ( - ∞ ; 4,5 ] .  

   8 .  y = ⁸√( x² - 10x + 9 ) ;

           x² - 10x + 9 ≥ 0 ;

     D = 64 > 0 ;  x = 1 ;  x = 9 ;    a = 1 > 0 , ( вітки параболи вгору ) .

             D( y ) = (- ∞ ; 1 ] U [ 9 ; + ∞ ) .

1y=x^4-2x²+3 d(y)∈(-∞; ∞) y(-x)=(-x)^4-2(-x)²+3=x^4-2x²+3 четная x=0  y=3 (0; 3)-точка пересечения с осями y`=4x³-4x=4x(x-1)(x+1)=0 x=0  x=1  x=-3 критические точки                   _                    +                      _                  + убыв              min возр          max убыв            min возр ymin=y(-1)=y(1)=1-2+3=2 ymax=y(0)=3 y``=12x²-4=4(3x²-1)=0 3x²=1⇒x²=1/3⇒x=-1/√3 u x=1/√3             +                _                            + /√/√ вогн вниз          выпук вверх          вогн вниз y(-1/√3)=y(1/√3)=1/9-2/3+3=22/9 (-1/√3; 22/9) и (1/√3; 22/9)-точки перегиба 2 y=2x³+3x² d(y)∈(-∞; ∞) y(-x)=2(-x)³+3(-x)²=-2x³+3x² ни четная,ни нечетная x=0    y=0 y=0    x=0 u x=-1,5 (0; 0); (-1,5; 0)-точки пересечения с осями y`=6x²+6x=6x(x+1)=0 x=0  x=-1                 +                  _                  + возр            max убыв        min возр ymax=y(-1)=-2+3=1 ymin=y(0)=0 y``=12x+6=0 x=-0,5                   _                      + , выпук вверх                    вогн вниз y(-0,5)=-0,25+0,75=0,5 (-0,5; 0,5) точка перегиба