Найдите восьмой член арифметической прогрессии, если известно, что при делении тринадцатого члена на третий получается 5, а при делении пятнадцатого члена на четвёртый получается 4 и в остатке 2.

a13 = a1+12d;       a3 = a1+2d  =>   a13 / a3 = (12d+a1) / (2d+a1),  a13 / a3 = 5 (по условию), значит  (a1 + 12d) / (a1 + 2d) = 5;

a15 = a1 + 14d;   a4 = a1 + 3d  =>   a15 = 4* a4 + 2 (по условию)  => a1 + 14d = 4(a1 + 3d) + 2

так как выполняются оба условия, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

{  (a1 + 12d) / (a1 + 2d) = 5        { a1 + 12d = 5(a1 + 2d)                { a1 + 12d = 5a1 + 10d

    a1 + 14d = 4(a1 + 3d) + 2          a1 + 14d = 4a1 + 12d + 2        4a1 + 12d - a1 - 14d = -2

{ a1 + 12d - 5a1 - 10d = 0      {  -4a1 + 2d = 0        { -a1 = -2                      {  a1 = 2                          { a1 = 2

  3a1 - 2d = - 2                                                  3a1 - 2d = -2            3a1 - 2d = -2          3*2 + 2 = 2d            6 + 2 = 2d

{ a1 = 2

  d = 4    так как  a8 = a1 + 7d,  a8 = 2 + 7*4  =>   a8 = 2 + 28  =>   a8 = 30

ответ: восьмой член арифметической прогрессии равен 30.

пусть

          х км/ч   - скорость пассажирского поезда

          у км/ч   - скорость товарного поезда,

тогда

300/х   час - время, за которое пассажирский поезд проходит 300 км;

300/у   час - время, за которое товарный поезд проходит 300км

по условию расстояние 300 километров пассажирский поезд проходит на 1 час быстрее товарного, получаем первое уравнение:

из условия, что за 1,5 часа пассажирский поезд проходит на 22,5 км больше, чем товарный, получаем второе уравнение:

решаем систему:

из второго уравнения выразим у через х: ​

подставим в первое вместо у.

75 км/ч   - скорость пассажирского поезда

y=x-15

75-15=60 км/ч   - скорость товарного поезда.

ответ:

1. вспомним формулы сокращенного умножения.

в нашем выражении присутствует вторая степень. значит, можно воспользоваться формулами сокращенного умножения со второй степенью:

квадрат суммы: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;

квадрат разности: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2;

разность квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)*(a + b).

2. выделим квадрат разности.

проанализировав выражение, увидим, что   4а^2 - 20аb + 25b^2   похоже на квадрат разности. определим значения для a и b.

4а^2 - 20аb + 25b^2 = (2a)^2 - 2*(2a)*(5b) + (5b)^2 = (2a - 5b)^2.

подставим полученный квадрат разности в первоначальное выражение.

(2a - 5b)^2 - 36.

3. разложим на множители.

заметим, что 36 = 6^2. подставим это в выражение.

(2a - 5b)^2 - 6^2.

теперь мы имеем разность квадратов, где a = 2a - 5b, b = 6.  

подставим эти значения в формулу сокращенного умножения вместо a и b:

((2a - 5b) - 6)*((2a - 5b) + 6);

(2a - 5b - 6)*(2a - 5b + 6).

следовательно, 4а^2 - 20аb + 25b^2 - 36 = (2a - 5b - 6)*(2a - 5b + 6).

подробнее - на -

объяснение: