Втреугольнике авс: угол с = 90град, ас = 15, угол а = 20град. точка м удалена на расстояние 25 от каждой вершины треугольника. найти угол между мс и плоскостью авс. ответ: 28град 42 мин.

tga=bc/ca 

bc=tg20°*15=0.364*15=5.46 см

перпендикуляр из т.м пересекает δавс в т.о

ов=оа=ос=х

перпендикуляр из т.о  на сторону=15 пусть будет=а

перпендикуляр из т.о  на сторону=5,46 пусть будет=b

составим систему:

x²=a²+(15-b)²

x²=b²+(5,46-a)²

x²=a²+b² подставим в 1 и 2 ур-е получим

(15-b)²-b²=0

b=7,5

(5,46-a)²-a²=0

a=2,73

x=7,98

cosmco=co/mc=7.98/25=0.3193

mco=71°37'

Заметим, что вновь получившийся треугольник будет подобен исходному с коэффициентом подобия 2. так как через середины сторон проходят средние линии треугольника, которые являются половиной его исходных сторон. значит стороны у искомого треугольника равны 3, 4 и 5 см соответственно. заметим, что это египетский треугольник. то есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см. катетами 3 и 4 см. можно вычислить его площадь быстро таким образом. перемножить катеты и поделить их пополам, так как это по формуле площади треугольника. катет одновременно является и высотой, проведенной к другому катету-основанию. s=3*4: 2=3*2=6 см2. ответ: 6 см2.

дано:

abdc - параллелограмм

ad и вс - диагонали

ве=ес

ае=еd

доказать: ав||сd

доказательство:

1)рассмотрим треугольники аев и edc

они равны по двум сторонам и углу между ними

ве=ес

ве=есае=еd

угол аев= углу dec (т.к вертикальные углы равны)

2)если треугольники равны, то чтобы доказать, что прямые параллельны, воспользуемся теоремой:

если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

тогда =< dce (т.к треугольники равны), что говорит, что ав||сd

что и требовалось доказать