1)в тре­уголь­ни­ке abc угол c пря­мой, ac = 8 , cos a = 0, 4. най­ди­те ab. 2)в тре­уголь­ни­ке abc угол c пря­мой, bc = 6 , sina = 0, 6 . най­ди­те ab. 30

boт когда в голову приходят такие решения, я все-таки понимаю, зачем сижу на этом сайте : )

1. треугольник "достраивается" до параллелограмма. для этого медиана ак (к - середина вс) продолжается на свою длину за точку к и полученная точка а1 соединяется с в и с. 

2. на аа1 отмечается точка м1 так, что м1к = мк. ясно, что м1вмс - тоже параллелограмм (я даже не стану уточнять, что м1 - точка пересечения медиан треугольника а1вс, симметричного треугольнику авс относительно точки к).

поэтому угол вм1с = угол вмс.

в четырехугольнике м1вас сумма противоположных углов вм1с и вас равна 180 градусов, поэтому вокруг него можно описать окружность.

м1а и вс - две хорды этой окружности, пересекающиеся в точке к. поэтому

ак*м1к = вк*кс;  

если обозначить длину медианы ак как m, то м1к = m/3, и

m^2/3 = (8/2)^2; m^2 = 48; m = 4*√3

 

, конечно, простая, и "задним числом" понятно, что на это решение и рссчитывали (может быть, там можно как то доказать подобие треугольников авк и смк, но мне уже не охота этим заниматься, тем более, что это совершенно эквивалентный метод), но сам способ оказался симпатичным.

это скорее .

пусть ав = с; bc = a; ac = b;  

p = (a + b + c)/2;

p - c = z = 7√3; или b + a - c = 2*z;

радиус r вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, равен

r = s/(p - a); или r = 2*s/(b + c - a);  

теперь числитель и знаменятель этой дроби умножаются на 2*z =  b + a - c;

r = 2*s*2*z/((b + c - a)*(b - c   +a)) = 4*s*z/(b^2 - (c - a)^2) = 4*s*z/(b^2 - a^2 - c^2 + 2*a*c);

теперь надо подставить s = a*c*sin(b)/2 и b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(b); получается

r = 2*z*a*c*sin(b)/(2*a*c - 2*a*c*cos(b)) = z*sin(b)/(1 - cos(b)); это ответ в общем случае.

если подставить числа z = 7√3; sin(b) =  √3/2; cos(b) = -1/2, то r = 7;

 

я решил добавить кое-что - мало ли, кому пригодится.

соотношение  r = s/(p - a); где  r - радиус вневписанной окружности, касающийся внешним образом стороны a, доказать просто. если соединить центр о этой окружности с вершинами треугольника авс, то 

s = sabo + saco - sbco (sabo - это площадь треугольника аво, и так далее)

в каждом из этих треугольников радиус вневписанной окружности является высотой к стороне, которая - к тому же - сторона треугольника авс.

s = ab*r/2 + ac*r/2 - bc*r/2 = (c + b - a)*r/2 = (p - a)*r; где p = (a + b + c)/2;

чтд.

отсюда, кстати, сразу можно получить веселые и красивые следствия, например, такое (с учетом формулы герона для площади)

s^2 = r*ra*rb*rc;

где r - радиус вписанной окружности, ra, rb, rc - радиусы трех вневписанных окружностей треугольника авс.