Abcd-параллелограмм, m и k - середины ab и cd.докажите, что mbkd параллелограмм.

Ва = сд ( стороны квадрата), ам = ск ( по условию), значит вм=кд = 4 -1 = 3 смесли вм = кд и вм || кд ( ва || сд ( стороны квадрата), то мвкд – параллелограмм (если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм)треугольник мда – прямоугольный ( угол а = 90 град.)найдем мд по теореме пифагора: мд^2 = ma^2+ ad^2md^2 = 9+ 16 = 25md = 5прведем прямую через пункт к ад, обозначим ее коко= ad= 4 см ( авсд – квадрат)периметр мвкд = (5+1)*2 = 12 см площадь мвкд = ко* мв = 4*1 = 4 см^2 (ко будет высота  параллелограмма мвкд рвоведенная к продосжению стороны вм из вершины к )

Внутри прямого угла квадрата, 90 градусов, симметрично расположен угол треугольника 60 градусов. нижняя сторона квадрата, отрезок правой стороны квадрата и сторона треугольника образуют прямоугольный треугольник. нас интересует его гипотенуза. обозначим сторону квадрата a 10/a = cos(15°) для того, чтобы получить решение в радикалах, а не в непонятных arccos(15) воспользуемся формулами половинного угла cos²(α/2)  = (1+cos(α))/2 cos(15°) = √(1/2+cos(30°)/2)  = √(1/2+√3/4)  = 1/4(√2+√6) a = 10/cos(15°) = 10/(1/4(√2+√6))  = 10(√6-√2) см и площадь треугольника s = 1/2*a²*sin(60°) = 1/2*(10(√6-√2))²*√3/2 = 200√3-300 см²

1) найти  объем правильной четырёхугольной пирамиды sавсд, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. проекция ao бокового ребра as на основание - это половина диагонали квадрата в основании. отсюда находим сторону а основания и его площадь s.   a = √2*as*cos 60° =  √2*12*0,5 = 6√2. so = a² = 72. высота н пирамиды равна: н = as*sin 60° = 12*(√3/2) = 6√3. ответ: v = (1/3)soh = (1/3)*72*6√3 = 144√3 куб.ед. 2) длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды - 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. найти объем пирамиды. проведём осевое сечение через 2 боковых ребра. в сечении имеем равнобедренный треугольник с углами при основании в 30°. пусть боковое ребро равно х. тогда высота пирамиды как катет против угла в 30° равна (1/2)х. проекция ао бокового ребра as на основание как половина диагонали основания равна (1/2)*6*√2 = 3√2. по пифагору х² = (3√2)² + ((1/2)х)². х² - (1/4)х² = 18. (3/4)х² = 18. х² = 18*(4/3) = 24. х =  √24 = 2√6. тогда высота пирамиды н = 0,5х =  √6. ответ: v = (1/3)*6²*√6 = 12√6 куб.ед.