Дана равнобедренная трапеция abcd ; ab=cd=6 ; bc=4; угол а=60 градусов , найти среднею линию трапеции?

      в           с а     н           р   д вн, ср - высоты рассмотрим треугольник авн: уголавн=90-60=30градусов мы знаем, что катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. следовательно, ан=6: 2=3см ан=рд=3см (т.к. треугольник авн=треугольникусрд по гипотенузе и катету) вс=нр=4см ад=ан+нр+рд=3+4+3=10см средняя линияавсд=(4+10): 2=7см

Так как  четырехугольник abcd вписан в окружность, а диагонали ac и bc перпендикулярны, то эти диагонали делят заданный четырёхугольник на 4 прямоугольных треугольника.эти треугольники попарно подобны (по вертикальным углам  при пересечении диагоналей) по равенству двух вписанных углов, опирающихся на равные дуги.обозначим точку пересечения диагоналей е, центр описанной около четырёхугольника окружности о.из подобия треугольников аве и дес следует ае: ед = 3: 4.примем коэффициент подобия у.тогда 8² = (3у)² + (4у)², 9у² + 16у² = 64, 25у² = 64, у =  √(64/25) = 8/5. получаем: ае = 3х =  24/5 = 4,8.                   де = 4х = 32/5 = 6,4. угол авд как вписанный равен (1/2) центрального угла аод. синус    (1/2) центрального угла аод равен (8/2)/(17/2) = 4/8,5 =  0,470588. угол аbд равен  0,489957  радиан или  28,07249°. косинус угла еад = 4,8/8 =  0,6.угол еад =  0,927295 радиан или 53,1301°. угол аде = 90° -  53,1301 =  36,8699°. по теореме синусов находим аb = ad*sin  аде / sin  аbд =  = 8*0,6/ 0.470588 = 10,2.сторона дс по равна (4/3) ав = (4/3)*10,2 = 13,6.ве =  √10,2²-4,8²) =  √( 104.04  - 23.04) =  √81 = 9. се =  √(13,6²-6,4²) =  √( 184.96  - 40.96) =  √144 = 12. вс =  √(9²+12²) =  √(81+144) =  √= 15.

Δabc, биссектриса bd⇒ по известной теореме (если вы ее не знаете, вы ничего в этой жизни не знаете ! (шутка, но в каждой       ad: dc=ab: bc у нас ab: bc=8: 14=4: 7, а ac=11. не нужно быть эйнштейном, чтобы сообразить, что ad=4; dc=7 кстати, нетрудно найти также длину биссектрисы (хоть вы про нее и не спрашивали) по формуле (которая элементарно выводится из теоремы стюарта и т.д. уф, меня занесло куда-то далеко) bd^2=ab·bc-ad·dc у нас bd^2=8·14-4·7=4·21; bd=2√21 ответ:   4 и 7