Докажите, что если боковая сторона трапеции равна меньшему основанию, то диагональ, соединяющая их концы, - биссектриса угла, прилежащего к большему основанию.

Треугольник равнобедренный, углы при основании равны. плюс накрест лежащие при пересечении оснований диагональю равны) вот и всё)

Если  диагонали трапеции авсд  перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке е, то треугольники аед и вес подобны друг другу и имеют острые углы в 45°. ае = ад*cos 45° =  9√2*(1/√2) = 9. ec = bc*cos 45° = 3√2*(1/√2) = 3. диагонали ас и вд равны друг другу по свойству вписанной трапеции. ас = вд = 9 + 3 = 12. они образуют 2 треугольника, вписанных в ту же окружность, что и трапеция. поэтому радиус окружности, описанной около трапеции находим по формуле радиуса окружности. описанной около треугольника. r = abc/(4s). боковую сторону находим по теореме косинусов: сд =  √(ас²+ад²-2*ас*ад*cos45°) =  √(162+144-216) =  √90 =  =  9.486833.площадь треугольника асд  находим по формуле герона: s  √(p(p-a)(p-b)(p-c). полупериметр р = (а+в+с)/2 =  17.107378.тогда s = 54.  детали этого треугольника:         a                b                c           p                    2p              s 9.486833   12.727922    12    17.107378    34.21475504       54      x=р-а         y=р-в           z=р-с         x*y*z         p*x*y*z        7.620545      4.379456   5.107378    170.45278      2916   cos a = 0.707107   cos b = 0.316228      cos с = 0.447214 аrad = 0.785398      brad = 1.249046      сrad = 1.107149 аgr = 45                   bgr = 71.565051      сgr = 63.434949.теперь находим радиус: r = (9.486833*12.727922*12)/(4*54) =  1448.972/216 =     =  6.708203932.это же значение можно представить как r =  √45 = 3√5. площадь треугольника асд можно найти проще: s = (1/2)*ад*ас*sin 45° = (1/2)*9√2*12*(1/√2) = 54. радиус окружности можно определить через корни: r = ((√90)*(9√2)*12)/4*54 = 108√180/216 =  √45. 

Два круга радиусами по 8 см имеют общую хорду 8√3 см.  а)  найдите площадь общей части кругов,  б)  площадь фигуры, образованной всеми точками этих кругов    рассмотрим данный в приложении рисунок.   общая часть кругов аово1 образована двумя равным  сегментами, прилегающими к общей хорде ав.   площадь сегмента найдем по формуле:   s=0,5 r²*[(πα  /180)-sin  α],   где  r  - радиус круга.  α  - угол сегмента в градусах,    π ≈  3.14   по т. косинусов найдем угол аов.   ав²=r²+r²-2r*r*cosα  r²*3=2r²(1-cos  α)  (3/2)-1= -cos  α  cos  α=-1/2   это косинус 120º  sin  α= sin 120º=(√3)/2  подставим найденное значение в формулу площади сегмента.   s=0,5* 64*[(π120  /√3)/2]  s=32*(4π-3√3) : 2     площадь общей части аово1 равна площади двух сегментов :   2s=32*(4π-3√3)  фигура, образованная всеми точками этих кругов, похожа на два полумесяца, касающихся в  точках пересечения кругов.   площадь одного  «полумесяца»    равна площади круга без площади общей части кругов.   s=64π -  32*(4π-3√3)=96√3-64π  2s=192√3-128π  2s=128*(1,5√3-π)= ≈459,579 см²