Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 9*sqrt(2 каковы должны быть катеты, чтобы периметр треугольника был наибольшим?

Пусть катеты a и b тогда теорема пифагора запишется a^2+b^2=162 p=a+b+9sqrt(2) a=sqrt(162-b^2) f(b)=b+sqrt(162-b^2)+9sqrt(2) f'(b)=1-2b/sqrt(162-b^2) f'(b)=0 sqrt(162-b^2)=2b 162-b^2=4b^2 b^2=sqrt(32,4) b=18/sqrt(10)    a=sqrt(129,6)=36/sqrt(10)

1) если в основании прямоугольник со сторонами а и в, площадь боковой поверхности равна   p(осн) × c = 2(a + b) × c = 2 × 10 × 3 = 60 /см²/; площадь полной поверхности = s(бок) + 2s(осн) = 60 + 2 × 6 × 4 = 60 + 48 = 108/ см²/

2) если в основании прямоугольник со сторонами а и с, то площадь боковой пов. равна 2(a + с) × в=2*9*4=72/см²/ ; площадь полной поверхности = s(бок) + 2s(осн) 72+2*6*3=108/см²/,

3) если в основании прямоугольник со сторонами в и с, площадь боковой поверхности равна   p(осн) × а = 2(в + с) × а = 2 × 7 × 6= 84/см²/; площадь полной поверхности = s(бок) + 2s(осн) = 84 + 2 × 4 × 3 = 84 + 24 = 108/ см²/

конечно, площадь полной поверхности не менялась оттого, что мы меняли основания.

ответ

Пусть угол  В=бетта

Так как точка   О - центр описанной окружности, угол АОС - центральный, а угол В- вписанный. По свойству вписанного угла  AOC=2angleB=2*бетта.

AIC=AOC=2*бетта - как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. (По условию точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окруж­но­сти.)

Точка I - центр вписанной окружности. Она лежит в точке пересечения биссектрис. Пусть углы А=альфа и С = гамма

Сумма углов треугольника А+В+С равна альфа+бетта+гамма

Рассмотрим треугольник AIC:

Сумма углов треугольника AIC равна  альфа/2 + бетта/2 + гамма/2= 180

получили систему:

{

альфа+бетта+гамма=180

альфа/2+2*бетта+гамма/2=180

} следовательно если мы первое разделим на 2 и вычтем из второго первое, получим, что

3/2*бетта=90

бетта=60

угол В=60