Стороны треугольника равны 10 см, 12 см, 14 см . найти площадь треугольника !

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию, т.е. вопрос: известна ли высота, если да, то ее длина 10, 12 или 14 см?

Диагонали пересекаются в точке о. свойству трапеции  δаов=δсод, а тр-ки вос и аод подобны. их коэффициент подобия: k²=s/s=54/6=9  ⇒ k=3. пусть  во=х, со=у, тогда до=3х, ао=3у. α - угол между диагоналями, его синус одинаковый для всех  треугольников, образованных пересекающимися диагоналями. сумма тр-ков аов и сод: s1=(х·3у·sinα+3х·у·sinα)/2=(6xy·sinα)/2. сумма тр-ков вос и аод: s2=(х·у·sinα+3x·3y·sinα)/2=(10xy·sinα)/2. s1/s2=6/10=3/5. по условию s2=6+54=60, значит s1=3·s2/5=36.  δаов=δсод=36/2=18 (ед²).

Пусть h1≤h2≤h3  - высоты треугольника (h1- наименьшая). можно воспользоваться известным  соотношением: 1/r=1/h1+1/h2+1/h3. отсюда 1/r≤3/h1, т.е. при r=1 получаем h1≤3. это значение, очевидно достигается в равностороннем треугольнике. т.е. ответ 3. p.s. доказать 1/r=1/h1+1/h2+1/h3 можно так: если h1, h2, h3 - высоты проведенные к сторонам а, b, c, то по формуле площади треугольника 1/h1=a/(2s), 1/h2=b/(2s), 1/h3=c/(2s), откуда 1/h1+1/h2+1/h3=(a+b+c)/(2s)=1/r, т.к. s=pr, где p - полупериметр.