Площадь равностороннего треугольника равна 273 см2. найдите расстояние между плоскостью треугольника и точкой, которая удалена от каждой из его вершин на 10 см.

Пусть  в  прямоугольном  треугольнике  авс  а,  в    катеты,                                                                                                       с  =  30см       гипотенуза. пусть  а  -  в  =  6  >   а  =  в  +  6 по  теореме  пифагора. с^2  =  a^2  +  в^2  >   30^2  =  (в  +  6)^2  +  в^2  >   900 = в^2 + 12в + 36 + в^2 2в^2  +  12в  -  864  =  0      /2 в^2  +  6в  - 432  =  0 по  теореме  виета  в_1  =  -24  посторонний  корень                                 в_2  =  18см     >   а  =  в  +  6  =  18  +  6  =  24(см) р  =  а  +  в  +  с  =  24  +  18  +  30  =  72(см) ответ.     72см 

Вот вам решение : в дополнение к заданным в обозначениям я ввожу еще такие. bf пересекает а в точке к. ам = p; bn = t; nc = q; ck = x; ka = y; cf = e; fn = u; mf = f; ну, и ав = с, вс = а; из теорем чевы и ван-обеля сразу следует m*q*y/(p*t*x) = 1; x/y + q/t = e/f;   y/x + p/m = n/u; из первого и второго равенств следует q/t = (x/y)*(p/m); и  (x/y)*(1 + p/m) = e/f; аналогично из первого и третьего равенств p/m = (y/x)*(q/t); и  (y/x)*(1 + q/t) = n/u; если перемножить левые и правый части, получается (1 + p/m)*(1 + q/t) = (e*n)/(f*u); или (c/m)*(a/t) =  (e*n)/(f*u);   пока что нигде не использовалось условие равенства углов. это условие означает, что точки a m n c лежат на одной окружности. отсюда сразу следует,  что  n*u = e*f;   (произведения отрезков хорд)  и m*c = t*a; (произведения отрезков секущих из точки в). подставляя   e =  n*u/f; и с = a*t/m; я получаю a^2/m^2 = n^2/f^2; или a/m = n/f; f = n*a/m;   между прочим, угол между f и n (угол mfa) не равен углу abc. то есть получить это равенство из подобия не получится : )