Угол параллелограмма равен 150 градусам , а стороны - 11 см и 3* корень из трех . найдите площадь параллелограмма и его меньшую диагональ . решение через теорему косинусов .

пусть диагональ прямоугольника равна х. так как диагональ прямоугольника - это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника, а стороны его равны х-8 и х-9 (они меньше диагонали), то по пифагору

(х-8)² +(х-9)² = х².   раскроем скобки   =>   х² - 34х +145 = 0.

решаем квадратное уравнение. х1 = 17+12 = 29 и х2 = 17-12=5. второе значение не удовлетворяет условию. значит х = 29.

тогда стороны прямоугольника равны 20 ед и 21 ед. , а его периметр равен 2*(20+21) = 82 ед.это ответ.

Строго говоря, теорема птолемея дает необходимое и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. но если честно, я ни разу не встречал , в которой пришлось бы использовать достаточность. то есть всегда бывает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается соответствующий вывод. предлагаю в таком виде теорему и формулировать. теорема птолемея.    если четырехугольник abcd вписан в окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон                                 ac·bd=ab·cd+ad·bc .меня всегда удивлял тот факт, что в этой теореме приходится перемножать противоположные стороны. как-то далеко друг от друга они расположены. вот  если бы соседние перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. это и дало толчок к моему доказательству.  найдем площадь abcd двумя способами. во-первых, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними - эта формула, как мне кажется, школьникам должна быть известна. доказывается она либо разбиением четырехугольника диагоналями  на 4 треугольника, либо более красиво -  рассматривая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины,  если обозначить угол между диагоналями буквой  ф, то                                    s=(1/2)ac·bd·sin  ф угол  ф - это угол между ac и bd, а он, как известно из школьной программы, равен полусумме дуг ab и cd, высекаемых этими . через вписанные углы он выражается в виде суммы углов bca и cbd. запомним это.  во-вторых, более или менее естественно попробовать сосчитать площадь abcd как сумму площадей двух треугольников, скажем abc и adc, но в этом случае мы будем получать произведения соседних сторон, а не противоположных. выйдем из положения не совсем обычным способом. отрежем от четырехугольника треугольник abc (останется нетронутым  треугольник adc)  , перевернем abc другой стороной и "приклеим" на старое место. если вы не любите "играть в бирюльки" и хотите " рассуждение", то вот оно. рассмотрите диаметр окружности, перпендикулярный ac, и рассмотрите точку b', симметричную точке b относительно этого диаметра. конечно, она снова лежит на окружности, при этом ab=cb'; bc=b'a. иными словами, мы получили четырехугольник ab'cd, площадь которого равна площади старого, с теми же сторонами, но теперь те стороны, которые были противоположными, стали соседними. разобьем четырехугольник ab'cd  на два треугольника так, чтобы их сторонами были бывшие противоположные. тогда  s_(abcd)=s_(ab'cd)=s_(ab'd)+s_(b'cd)= (1/2)ab'·adsin dab'+(1/2)b'c·cdsin b'cd во вписанном четырехугольнике, как известно, сумма противоположных углов равна 180°, значит синусы этих углов равны, поэтому  s_(abcd)=(1/2)(ab'·ad+b'c·cd)sin dab'= (1/2)(bc·ad+ab·cd)sin (dac+cab')= (1/2)(bc·ad+ab·cd)sin (dbc+bca)=(1/2)(bc·ad+ab·cd)sin  ф (углы dac и dbc опираются на одну дугу и поэтому равны, углы cab' и bca опираются на равные хорды b'c и ab  и поэтому равны).  сравнив две полученные формулы для площади abcd, получаем искомую формулу. пример на использование    теоремы птолемея.  четырехугольник abcd вписан в окружность, ab=1, ac=2, ad=6/5,  ∠adc=90°. найти bd. решение.  ∠adc=90°⇒∠abc=90°, то есть abcd разбит диагональю ac на два прямоугольных треугольника. с теоремы пифагора находим неизвестные катеты этих треугольников: bc=√3; cd=8/5. по теореме птолемея bd·ac=ab·cd+bc·ad; 2bd=8/5+6√3/5; bd=(4+3√3)/5 заканчивая сей опус, хочу извиниться за то, что не способен сейчас сделать чертеж - много дел запланировано на этот вечер. если кто-нибудь сделает мне его - все заработанные на этой