Дана окружность с центром в точке o. через точку a, расположенную вне окружности, и точку o проведена прямая, пересекающая окружность в точках p и q. найдите длину касательной ab, проведенной к данной окружность, если ap=4, aq=9.

Ав в квадрате=ар*aq=4*9=36, ав=6

                                                          1.

рассмотрим треугольники abc и def

1) ас=df, так как ас=аd+dc;   df=cf+dc, ad=cf по условию , а значит ac=df

2) ab=de    

    bc=ef     -   треугольник abc = треугольнику def по трём сторонам

    ac=df

следовательно, угол вас=углу edf, а эти углы соответственные при пересечении прямых ав и df секущей аf, поэтому ab║de

                                                2.

рассмотрим треугольник abd  и треугольник dbc:

1) угол  abd   = углу  dbc

2)bd - общая

3)угол  adb = углу  bdc

следовательно, треугольник adb   = треугольнику  dbc ( по 1 признаку равенства треугольников) следовательно, угол bad  = углу bcd

ас - биссектриса угла еав, следовательно угол bad  = углу dae

из этих двух равенств следует, что угол bcd  = углу dae

угол  bcd = углу dae, угол  bcd и угол dae - накрест лежащие, следовательно вс || ae, ас - секущая ( по 1 признаку параллельности двух прямых)

Воснове лежат свойства подобных треугольников. 1. берем произвольный отрезок ав и откладываем от него  два данных угла . соединяем лучи,   исходящие из вершин а и в,  точку пересечения обозначаем с,получается треугольник авс  , у которого два угла равны данным.   2 .проводим вершину из угла с. обозначим ее се. 3.далее на прямой се отложим от точки е отрезок, равный заданной высоте. конец отрезка обозначим м. 4. из  точки м проведем   прямые параллельно сторонам ас и вс. точки пересечения этих прямых с прямой ав обозначим р и  т. мрт - искомый треугольник.