Известно, что abcd - параллелограмм. точки k, m, n, p - середины сторон ab, bc, cd, ad соответственно. найдите площадь kmnp, если площадь abcd равна 14, 8.

Кмνρ тоже параллелограмм тк км - средняя линия треугольника авс км=1/2ас км||ac, ρν -средняя линия треугольника адс, ρν=1/2 ас, ρν||ac. ⇒км||ρνю аналогично доказываем что кр||μν треугольники квм и рдν подобны треугольнику авс, значит их площадь равна четверти площади треугольника авс или 1/8 площади параллелограмма ( площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров) аналогично с треугольниками акр ирдν. т.е. сумма площадей этих треугольников равна 4·1/8=1/2 площади авсд ⇒ площадь kmnp=1/2 площади abcd равна 14,8: 2=7,4ответ 7,4

h - это расстояние от точки а  до грани mbc.

h = 6

апофема  грани mbc. +апофема  грани mад + высота   - это сечение пирамиды - это равносторонний треугольник-основание в этом треугольнике равно стороне основания пирамиды (а), равносторонний, потомучто угол при вершине 30 град , а при основании будет 60 около каждой апофемы

апофема  грани mbc.; апофема  грани mад - боковые стороны   b=h/cos30=

половина основания треугольника a/2 =h*tg30

тогда целая длина основания   a = 2h*tg30

 

площадь треугольного сечения можно посчитать двумя способами

s= 1/2*h*a     или   s =1/2*h*b

приравняем s

1/2*h*a   =1/2*h*b

h*a   =h*b 

h =  h*a/b 

подставим   a, b

h =  h*a/b = h *2h*tg30 /(h/cos30) =2h*sin30 =2*6*1/2=6

ответ   6

 

 

Теорема 2 1-ое свойство перпендикулярных прямой и плоскости. если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. доказательство: пусть а1 и а2 - 2 параллельные прямые и плоскость, перпендикулярная прямой а1. докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. проведем через точку а2 пересечения прямой а2 с плоскостью произвольную прямую х2 в плоскости . проведем в плоскости через точку а1 пересечения прямой а1 с прямую х1, параллельную прямой х2. так как прямая а1 перпендикулярна плоскости , то прямые а1 и x1перпендикулярны. а по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости . а это ( по определению )значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости . теорема доказана. смотри также опорную №2. теорема 3 2-ое свойство перпендикулярных прямой и плоскости. две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. доказательство: пусть а и b - 2 прямые, перпендикулярные плоскости . допутим, что прямые а и b не параллельны. выберем на прямой b точку с, не лежащую в плоскости . проведем через точку с прямую b1, параллельную прямой а. прямая b1 перпендикулярна плоскости по теореме 2. пусть в и в1 - точки пересечения прямых b и b1 с плоскостью . тогда прямая вв1 перпендикулярна пересекающимся прямым b и b1. а это невозможно. мы пришли к противоречию. теорема доказана.