Втреугольнике авс ав=вс .на медиане ве отмечена точка м , а на сторонах ав и вс-точки р и к соответственно(точки р, м, к не лежат на одной прямойизвестно , что угол вмр равен углу вмк .докажите , что : а)углы вмр и вкм равны; б)прямые рк и вм взаимно перпендекулярны

Треугольник авс, ав=вс, угола=уголс, ве=медиана=высота=биссектриса, уголрвм=уголквм, уголвмр=уголвмк, треугольник вмр=треугольниквмк по двум углам и прилегающей стороне (вм-общая), значит уголврм=уголвкм, вр=вк, треугольник рвк равнобедренный, вн-биссектриса=высоте=медиане в треугольникервк, вн перпендикулярно рк

1. треугольник вкм подобен треугольнику авс, так как км || ac. см. признак подобия по двум углам ( следствие). из подобия следует пропорциональность сторон: вк: ba=bm: bc 6: 18=4: bc bc=18·4: 6=12 mc=bc-bm=12-4=8 cм 2. ∠вса = ∠ сad -  внутренние накрест лежащие углы при параллельных вс и ad  и секущей ас ∠авс = ∠acd  - по условию треугольники авс и acd подобны по двум углам. из подобия следует пропорциональность сторон: bc: ac=ac: ad 24: ac=ac : 54 24·54= ac² ac=36 ответ. ас=36 см

Розв'язання: розглянемо  δ  авс. вн - висота, ділить сторону ас навпіл, тобто  ан = нс, тоді вн - медіана, а це означає, що  δ авс рівнобедрений: ав = вс,  ∠ а =  ∠ с.  розглянемо  δ abd і  δ cbe.  ав =   вс   як бокові сторони рівнобедреного трикутника, ∠ в - спільний ∠ ваd =  ∠ а /2 (ad -бісектриса),  ∠ все =  ∠с/2 (се - бісектриса)  ∠ bad =  ∠bce  тоді  δ abd = δcbe - за другою ознакою (за стороною і двома прилеглими кутами. це означає се = ad, тобто се = 15 см