2. точки a(1, -1, 2), b(5, 2, 2), c(3, 0, 4), a'(-2, -3, 7) являются вершинами параллелепипеда abcda'b'c'd'. найти: а) объем параллелепипеда; б) площади граней; в) длину высоты, проведенной из вершины a' на грань abcd; г) косинус угла φ1 между ребром ab и диагональю b'd; д) косинус угла φ2 между гранями abcd и add'a'.

Острые углы прямоугольного треугольника равны α и β (β>α). Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

CK — медиана,

CF- высота,

∠A=α, ∠B=β, β>α.

Найти: ∠FCK.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, в треугольнике ABC ∠A+∠B=90º, то есть α+β=90º. Значит, β=90º-α.

По свойству прямоугольного треугольника,

Следовательно, треугольник ACK- равнобедренный с основанием AC. Отсюда, ∠ACK=∠A=α (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Рассмотрим треугольник ACF — прямоугольный (∠CFA=90º, так как CF — высота).

∠A+∠ACF=90º, откуда ∠ACF=90º-∠A=90º-α=β.

∠FCK=∠ACF-∠ACK=β-α.

Объяснение:

угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе, равен разности острых углов прямоугольного треугольника.

Поскольку две другие высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами, то угол между медианой и высотой, проведённой к катету, есть угол между медианой и другим катетом. Для нахождения этих углов требуются дополнительные данные.

∠CBP — угол между медианой BP и высотой BC

(высота BC является также катетом).

∠CAE — угол между медианой AE и высотой AC

(высота AC является катетом).

Выясним соотношения между катетами и гипотенузой треугольника. Пусть гипотенуза равна 2х, тогда один катет  равен х(тот, что лежит против угла в 30гр.), а другой 2х · cos 30 = 2x·0.5√3 = x√3/

Радиус вписанной в прямоугольник окружности равен

r = ( a + b - c):2, где а и b -катеты, а с - гипотенуза.

r = ( х + х√3 - 2х):2 = 0,5х(√3 - 1)

0,5х(√3 - 1) = 4

Отсюда х = 8/(√3 - 1)

Периметр треугольника: Р = 2х + х + х√3 = х(3 + √3). Полупериметр р = 0,5х(3 + √3)

Площадь треугольника S = r·p = 4·0,5х(3 + √3) = 2х(3 + √3)

Подставим х = 8/(√3 - 1) и получим

S = 2·(3 + √3)·8/(√3 - 1)

S = 16√3·(√3 + 1)/(√3 - 1)

Объяснение: