Периметр треугольника равен 34 найдите сумму длин всех его средних линий

подробно объясняю.

если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедернная (параллельные прямые отсекают в окружности равные дуги, а равным дугам соответствуют равные хорды. то есть боковые стороны трапеции равны.

если вокруг трапеции можно описать окружность, то суммы противоположных сторон равны. (это следует из свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки. каждая сторона равна сумме 2 таких отрезков. а суммы противоположных сторон равны сумме всех 4 разлиных отрезков касательных , проведенных из 4 различных вершин. кстати, это работает не только на трапеции, но и на любом четырехугольнике, в который можно вписать окружность.) 

поэтому боковая сторона равна полусумме оснований.

а радиус вписанной окружности равен половине высоты (это уже совсем просто - окружность между 2 параллельными касательными).

осталось найти высоту.

опустим перпендикуляр из вершины основания b на а. расстояние от ближайшего конца а до основания этого перпендикуляра будет (a - b)/2;  

мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами 2*r,  (a - b)/2,  (a + b)/2;

находим отсюда r по теореме пифагора.

4*r^2 = (a+b)^2/4 - (a-b)^2/4 = a*b;

r = корень(a*b)/2;

воспользуемся формулой площади тр-ка:

s = (1/2)*ab*sinα

суммарная площадь 2-х малых тр-ов (на которые разбила биссектриса) равна площади исходного:

(1/2)*14*12*sin(α/2)  +  (1/2)*35*12*sin(α/2)  =  (1/2)*35*14*sinα

решим полученное тригонометрическое уравнение:

sin(α/2)(35*28*cos(α/2) - 49*12) = 0

cos(α/2) = (49*12)/(35*28) = 3/5

тогда: sin(α/2) = корень(1 - (9/25)) = 4/5

sinα = 2*(3/5)*(4/5) = 24/25

площадь тр-ка:

s = (1/2)*35*14*(24/25) = 235,2

ответ: 235,2 см^2.