Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 2α, а радиус окружности , вписанной в него, равен r.найдите боковую сторону треугольника.

Обозначим вершину равнобедренного треугольника с углом, равным 2а точкой а, две другие вершины, прилежащие к основанию, точками в и с. опустим из вершины а высоту ак (она же является и биссектрисой и медианой) на основание. центр вписанной окружности обозначим точкой о, он лежит на высоте ак. из центра о проведем радиус ом, равный r и перпендикулярный боковой стороне ас. углы вак и кас равны а. из треугольника акс ак/ас=cos(a), ас=ак/cos(a). ак=ао+ок. ок=r. из треугольника аом ом/ао=sin(a), отсюда ао=ом/sin(a)=r/sin(a). ak=r/sin(a)+r. значит ас=(r/sin(a)+r)/cos(a)=r*(1/sin(a)+1)/cos(a)=r*(sin(a)+1)/(sin(a)*cos(a)=2*r*(sin(a)+1)/sin(2*a).

Означення. Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі. Теорема (про рівність діагоналей прямокутника). Доведення. Для доведення використовуємо той факт, що ∆ACD=∆ВCD за першою ознакою рівності трикутників (CD — спільна, АС= BD як протилежні сторони паралелограма, C= D=90). А в рівних трикутниках проти рівних кутів (у цьому випадку прямих кутів) лежать рівні сторони. Отже, ВС=AD, як гіпотенузи рівних прямокутних трикутників, ще й необхідно було довести.
Властивості прямокутника 1. Протилежні сторони рівні й паралельні. 2. Усі кути прямі. 3. Діагоналі рівні, перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться пополам. 4. Кожна діагональ ділить прямокутник на два рівні трикутники. 5. Точка перетину діагоналей є спільною вершиною чотирьох трикутників, які попарно рівні і мають в основах паралельні прямі.

Вообще просто. так как известно что стороны в четыре раза меньше - тогда получается, что отсечен подобный треугольник с коэффициентом подобия = 1/4. а есть такое замечательное свойство, что высота у подобных треугольников отличается на коэффициент подобия. а так как искомая величина - площадь = основание*высоту/2 то при перемножении коэффициент подобия перемножится и составит 1/16. таким образом, площадь маленького отсеченного треугольника составит 1/16 от большого. трапеция при этом - оставшаяся часть = 15/16=30. отсюда следует, что 1/16 = 2.