Внутри равнобедренного треугольника abc отмечена точка m, так что am=bm. доказать, что cm-биссектриса

Abc=180 am=90 bm=90 180-90=90 короче это биссектрисса

/> условие, что o и h лежат на одной окружности с точками a и с, означает, что в этой окружности углы aob и ahс - вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу. то есть они равны. дальше все проще простого. ∠aoс = 2*∠abc (это связь между центральным и вписанным углами, на этот раз - в окружности, описанной вокруг abc). ∠hac = 90° - ∠bca; ∠hca = 90° - ∠bac; => ∠ahc = 180° - (90° - ∠bca) - (90° - ∠bac) = ∠bac + ∠bca = 180° - ∠abc; то есть 2*∠abc = 180° - ∠abc; ∠acb = 60°; должно получится так

Пусть ∠c = 2y, ∠bad = α, ∠cad = 3α, ce – диаметр описанной окружности ω треугольника cdo. тогда ∠ode = ∠oce = y, ∠cde = 90°, ∠dec = 90° – 2y. точка a лежит на продолжении отрезка do за точку o, поэтому она находится дальше от центра ω, чем точка o. значит, dec – внешний угол треугольника ade, откуда ∠dec = 90° – 2y = 3α + y, то есть α = 30° – y. поэтому ∠b = 180° – 2y – 4α = 60° + 2y. по теореме синусов и условию sin2y/sin(60°+2y)=2/3. после очевидных преобразований получим: 3 sin2y = √3 cos2y + sin2y, tg2y = √3/2, откуда cos²2y=1/1+tag²2y = 4/7, а так как 2y < 90° (как острый угол прямоугольного треугольника cde), то cos 2y = 2/√7. ответ: 2/√7.