Вравнобедренном треугольнике mnk с основанием mk, равным 10 см , mn=nk=20 см. на стороне nk лежит точка a так что ak относиться к an как 1 к 3.найти am.

Вравнобедренном треугольнике mnk с основанием mk,  равным 10 см , mn=nk=20 см. на стороне nk лежит точка a так,  что ak : an как 1 : 3. найти am. сделаем рисунок.  ак : кn=1 : 3  пусть коэффициент этого отношения будет х. так как nk=20=х+3х= 4x,  ak=20 : 4= 5см  проведем ав параллельно основанию мк и   ас параллельно боковой стороне nm.  треугольники mnk и  abn подобны с коэффициентом подобия   kn : an=4 : 3  cледовательно, мк : ав=4 : 3  10 : ав=4 : 3  4ав=30  ав= 7,5 см  в параллелограмме авмс противоположные стороны равны.  вм=ак=ас=5 см  мс= 7,5 см  треугольник аск - равнобедренный.  найдем по т. пифагора его высоту ан.   кс=мк-мс=10-7,5= 2,5 см   нк= 1,25 см  ан²= (ак²-нк²)=(5²-1,25²)= 23,4375   из прямоугольного треугольника нам найдем ам по т.пифагора :   ам= √(мн²+ан²)=√(7,5²+23,4375)=√100= 10 см

б)4 итак, что мы имеем: треугольник авс, где угол а=90 градусов, и высота аd делит его на два прямоугольных треугольника. начнем с того, что попроще: треугольник adb (угол d=90 градусов), катет ad=12, гипотенуза ав=20, по теореме пифагора 20^2=12^2+db^2 таким образом, сторона db=16 теперь рассмотрим второй треугольник, получившийся при делении большого треугольника высотой: cda, где угол d =90 градусов. катет ad=12, катет dc=x, гипотенуза ac=y по все той же теореме пифагора получаем: y^2=12^2+x^2 теперь рассмотрим исходный треугольник авс катет ав=20, катет ас=y (смотри выше), гипотенуза св=x+16 по теореме пифагора получаем: 20^2+y^2=(x+16)^2 => y^2=x^2+32x+256-400 => y^2=x^2+32x-144 подставляем в уравнение y^2=12^2+x^2 выраженное значение y, получаем: x^2+32x-144=12^2+x^2 32x=288 x=9 таким образом, гипотенуза вс=16+9=25 катет ас=15 косинус угла с равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, т.е. cos c= ac/cb=15/25=3/5

23 из теста 2 для гиа по .

 

площадь треугольника abc равна 140. на стороне ac взята такая точка м, что am: cm=3: 2.биссектриса al пересекает прямую bm в точке k найдите площадь четырехугольника mclk, если известно, что mk: bk=1: 3

 

решение:

 

 

 

известно, что на стороне ac взята точка m так, что  am: cm=3: 2. таким образом, выв видите, что сторона ac содержит 3+2=5 частей. в соответствии с этим площадь треугольника  abc,   равная 140, делится прямой bm на два треугольника: abm с площадью 84 и mbc с площадью 56.

      здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. тогда площадь треугольника abm составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. единицы, и площадь треугольника mcb составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56).

    теперь вспомним, что бессектриса al угла a треугольника abm делит противоположную сторону bm в точке k и сам треугольник треугольник abm на 4 части в отношении  mk: bk=1: 3. в этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника  abm, то есть am : ab как mk : bk. иначе говоря, am составляет 1 часть и bk составляет 3 части. 

      аналогично названная биссектрисса al делит сторону bc и сам треугольник abc на части, пропорциональные прилежащим сторонам. нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. в силу того, что отрезок

 

известно, что на стороне ac взята точка m так, что  am: cm=3: 2. таким образом, выв видите, что сторона ac содержит 3+2=5 частей. в соответствии с этим площадь треугольника  abc,   равная 140, делится прямой bm на два треугольника: abm с площадью 84 и mbc с площадью 56.

      здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. тогда площадь треугольника abm составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. единицы, и площадь треугольника mcb составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56).

    теперь вспомним, что бессектриса al угла a треугольника abm делит противоположную сторону bm в точке k и сам треугольник треугольник abm на 4 части в отношении  mk: bk=1: 3. в этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника  abm, то есть am : ab как mk : bk. иначе говоря, am составляет 1 часть и bk составляет 3 части. 

      аналогично названная биссектрисса al делит сторону bc и сам треугольник abc на части, пропорциональные прилежащим сторонам. нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. в силу того, что отрезок am составлял по условию 3 части, а теперь составляет одну часть отрезок ab теперь составляет 9 частей, а отрезок mc содержит 2 части, как дано по условию . тогда сторона ac составляет 5 частей и всего ab+ac = 3 + 2 = 14 частей. легко подсчитать, что на 1 часть приходится 140 : 14 = 10 квадратных единиц площади. поэтому площадь треугольника alc будет равна 10*5=50 кв. единиц, и площадь треукгольника alb будет равна 90 кв. ед. площадь треугольника akm равна 84 : 4 = 21 (кв. ед.) тогда искомая площадь четырехугольника mclk равна 50 - 21 = 29 (кв. единиц). решена !