Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах m=3i+2j, n=4i-3j.

Можно : пусть mnpq четырех угольник, тогда, если  из точки q провести диагональ в точку м и из точки n в точку p, получаться два треугольника nom и qop  с равными углами  nom и qop.(они равны так как являются вертикальными) стороны этих треугольников тоже равны по построению. треугольники равны.( первый признак равенства). по этому углы oqp и омр равны. исходя из этого стороны mn и pq параллельны и равны. так же доказывается параллельность и равенство сторон  nq и mp. (через треугольники noq противоположные стороны параллельны и равны это параллелограмм.

Треугольник авс прямоугольный: обозначим равные углы (угол abc = углу acm.) за  α. угол вмс = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр. смежный с ним угол амс = 180 - 90 =90°. угол вас = мас =  90 -  α. тогда угол вса = 180-α-(90-α) = 90°. высота см треугольника авс равна h = (2√(p(p-a)(p-b)(p-c)) / a или h = 2s / a = 2*((1/2)*15*20) / 25 = 300 / 25 = 12. сторона а (гипотенуза) равна  √(15²+20²) =  √625 = 25. площадь треугольника авс = (1/2)*15*20= 150. катет ам треугольника амс равен  √(15²-12²) =  √(225-144) =  √81 = 9. площадь  треугольника амс равна (1/2)*9*12 =  =54.отношение площадей   заданных треугольников равно150/54 = 25 / 9 = 5² / 3² = (5/3)². этот вывод можно получить из соотношения сторон подобных   треугольников: подобные стороны относятся: к =  вс / см = 20 / 12 = 5 / 3. площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон, то есть (5/3)².