Окружность с центром о описана около прямоугольного треугольника, а) докажите, что точка о — середина гипотенузы.

Окружность  1.свойства окружности.  1) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.  2) диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.  3) серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.  4) равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.  5) хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.  6) окружность симметрична относительно любого своего диаметра.  7) дуги окружности, заключенные между параллельными , равны.  8) из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.  9) диаметр есть наибольшая хорда окружности.  2.замечательное свойство окружности. место точек m, из которых отрезок ab виден под прямым углом (amb = 90°), есть окружность с диаметром ab без точек a и b.  3.свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.  4.линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.  5.центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.  это нужно запомнить и знать. окружность симметрична относительно центра и относительно любого своего диаметра.: )

Центральный угол соответствующий 90 градусам 180 градусов, то есть радиусы, проведенные к концам гипотенузы, составят развернутый угол, то есть прямую, а через две точки можно провести одну прямую, следовательно центр лежит на гипотенузе, так ка цент удален от концов гипотенузы на одинаковое расстояние (радиус) , то центр окружности центр гипотенузы 

Рассмотрим четырёхугольник авсd, где ав=500 м (направление на запад),  вс=300 м (направление на север), сd=100 м (направление на восток), угол в=90 градусов. из точки d опустим перпендикуляр dе  на ав. рассмотрим треугольник аеd: угол е=90 градусов, ае=ав  -  ве=500  -100=400, де=вс=300. в прямоугольном треугольнике  аеd  ае и dе катеты, аd гипотенуза.  надо найти гипотенузу аd. квадрат гипотенузы = сумме квадратов двух катетов=400 в квадрате+300 в квадрате=160000+90000=250000. аd=корень квадратный из 250000=500. девочка оказалась от дома на расстоянии 500 метров.

вектор ас имеет проекции

ас х = (4   - 0) = 4;     ас у = (3 - 3) = 0

ас (4; 0)

вектор bс имеет проекции

bс х = (4 - 4) = 0;     bс у = (3 - 0) = 3

bс (0; 3)

найдём скалярное произведение векторов ас и bс

ас · bс = (4 · 0 + 0 · 3) = 0

следовательно векторы ас и вс перпендикулярны.

угол асв - прямой и опирается на диаметр аb

найдём диаметр ав

iabi = √(0 + 4)² + (3 + 0)² = 5

радиус окружности равен половине диаметра r = 2,5.

центр окружности o расположен посредине между точками а и b

найдём координаты точки о

xо = (0 + 4)/2 = 2; уо = (3 + 0)/2 = 1,5

запишем уравнение окружности (х - хо)² + (у - уо)² =r²

(х - 2)² + (у - 1,5)² = 2,5²