Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды – прямой, сторона основания равна a. найти радиус описанного шара.

Могу предложить оригинальное решение начерти куб со стороной a/(корень из 2 ) abcda1b1c1d1 теперь соедини точки a1bd видишь пирамиду aba1d очевидно что что стороны основания равны как диагонали равных квадратов граней а так же все ребра равны и все 2гранные углы при вершине прямые так же по теореме пифагора можно убедится что сторона основания равна a то есть данная пирамида удовлетворяет условию опишем теперь около куба окружность очевидно что она лежит на середине большой диагонали куба bd1 в силу симметричности куба а поскольку эта окружность прошла и через все вершины пирамиды тк они лежат на кубе то это и есть радиус описанной около пирамиды окружность найдем ее рассмотрит прямоуг треуг b1d1d по теореме пифагора диагональ равна a*(корень из 3) а радиус соответственно a*sqrt(3)/2

если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

доказательство

дано:

2 треугольника, авс и а1в1с1, ab = a1b1, ac = a1c1, bc = b1c1

требуется доказать, что треугольники асв и а1в1с1 равны.

для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка а совпала с точкой а1, точка в с точкой в1, а точки с и с1 оказались по разные стороны от прямой а1в1.

три возможных случая при наложении треугольников луч с1с расположен внутри угла а1с1в1. луч с1с накладывается на одну из сторон данного угла. луч с1с расположен вне угла а1с1в1. доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев первый случай

луч с1с расположен внутри угла а1с1в1.

доказательство: рассмотрим треугольники в1с1с и ас1с. по условию стороны ас=а1с1, вс=в1с1, следовательно, треугольники в1с1с и а1с1с – равнобедренные.вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем: ∠асс1 = ∠а1с1с, ∠всс1 = ∠в1с1с. поскольку ∠acb = ∠acc1 + ∠bcc1, ∠ac1b = ∠ac1c + ∠bc1c, то и углы aсb и aс1b равны. так как вс = в1с1, ас = а1с1 и ∠aсb = ∠aс1b, можно утверждать, что треугольники авс и а1в1с1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

что и требовалось доказать

второй случай

луч с1с накладывается на одну из сторон этого угла.

доказательство: рассмотрим треугольник сас1. согласно условию теоремы, в треугольнике сас1 стороны ас и а1с1 равны, следовательно, сам треугольник сас1 - равнобедренный.по аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник сас1 равнобедренный, то углы при его основании (сс1) равны, то есть ∠с = ∠с1 . отсюда следует, что треугольники авс и а1в1с1 равны по двум сторонам и углу между ними.

что и требовалось доказать.

третий случай

луч с1с расположен вне угла а1с1в1.

доказательство: рассмотрим полученный треугольник всс1. по условию, стороны в1с1 и вс – равны, следовательно, треугольник в1с1с – равнобедренный, а значит, что углы bсd и bс1d равны.рассмотрим треугольник асс1.согласно условию, стороны ас и а1с1 – равны, отсюда следует, что треугольник асс1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠dc1a = ∠dca).∠dca = ∠dcb + ∠acb, а ∠dc1a = ∠dc1b + ∠ac1b.поскольку ∠dc1a = ∠dca и ∠bсd = ∠bс1d, то отсюда следует, что и углы ∠асв и ∠ас1в равны.исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники авс и а1в1с1 равны по двум сторонам и углу между ними.

что и требовалось доказать.

Углы aob и cod равны как вертикальные. значит, треугольники aob и cod равны по двум сторонам и углу между ними.  в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. стороны ab и cd лежат против равных углов aob и cod соответственно. это означает, что сторона cd треугольника cod также равна 8 сантиметрам. в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. угол oba треугольника aob лежит против стороны ao и равен 43 градусам. угол ocd треугольника cod лежит против стороны do, причём ao=do по условию. значит, угол ocd также равен 43 градусам.