Основанием пирамиды sabcd является ромб со стороной √30 и углом ваd, равным arccos 3/4. ребро sd перпендикулярно основанию, а ребро sb образует с основанием угол 60 градусов. найдите радиус сферы, проходящей через точки а, в, с и середину ребра sb. в ответ запишите r².

Ну, много, но эта совсем не сложная.логически она решается "на раз". все, что надо сообразить - что середина sb - пусть это точка e - проектируется на основание прямо в центр ромба h (точку пересечения диагоналей ac и bd). это означает, что плоскость abc и плоскость aec - перпендикулярны.  сечения сферы этими перпендикулярными плоскостями - это просто окружности, описанные вокруг треугольников abc (в плоскости abc) и aec (в плоскости aec).  то есть на сфере есть две окружности с общей хордой ac (радиусы окружностей очевидно вычисляются из условия), расположенные в перпендикулярных плоскостях.  через середину ac перпендикулярно ac проходит плоскость, очевидно содержащая центр сферы - эта плоскость - место точек, равноудаленных от a и c, и в ней центр лежит на таком же расстоянии от b и e (которые тоже лежат в этой плоскости, разумеется). тут главное - не выдумать случайно, что центр о лежит в плоскости abc - это не так.а это означает, что центральное сечение является окружностью, описанной вокруг треугольника beb1, где bb1 - диаметр окружности, описанной вокруг abc. точка b1 лежит на продолжении bd.  получается, что для решения надо 1) найти диаметр окружности, описанной вокруг abc, bb1 = d; 2) найти радиус r окружности, описанной вокруг треугольника beb1. это и будет искомый радиус сферы. теперь можно считать.пусть a = √30; α = arccos(3/4); для треугольника abc x =  bh =  a*sin(α/2); bb1 =  d = a/sin(α/2); это просто теорема синусов для abc;   точно так же для треугольника beb1 eh = bh*tg(60°) = x*√3; 2*r*sin(60°) = eb1; или, если возвести в квадрат, 4*r^2*(3/4) = eb1^2 = eh^2 + hb1^2 =  (d - x)^2 + (x*√3)^2; или 3*r^2 = (d - x)^2 + 3*x^2; при этом d = a/sin(α/2); x = a*sin(α/2); осталось подставить. 3*r^2 = a^2*((1/sin(α/2) - sin(α/2))^2 + 3*(sin(α/2))^2) =  = a^2*((1/2+cos(α)/2)^2/((1/2-cos(α)/2)) + 3*(1/2-cos(α)/2)); = (подставляем числа)   = 30*((7/8)^2/(1/8) + (3/8)) = 30*(49 + 3)/8 = 3*10*52/8; r^2 = 520/8 = 65;

Площадь прямоугольного треугольника максимальна при одинаковой величине гипотенузы, когда острые углы равны по 45 градусов. катеты равны по 10*(√2/2) = 5√2. максимальная площадь равна sмакс = (1/2)*(5√2)² = 50/2 = 25 кв.ед. это доказывается так: пусть катеты равны х и у. по пифагору 10² = х² + у². отсюда у =  √(100-х²). функция площади s = (1/2)x* √(100-х²).найдём производную и приравняем нулю.s' = (50-x²)/√(100-x²) = 0. для дроби достаточно приравнять нулю числитель (если знаменатель не равен 0).50-х² = 0. х =  √50 = 5√2, у при этом равен  √(100-(5√2)²) =  √(100-50) =  √50 = 5√2. то есть при равенстве катетов, при этом острые углы треугольника равны по 45 градусов.

Находим длины сторон заданного  треугольника. расстояние между точками: d =  √ ((х₂   - х₁   )² + (у₂   - у₁   )² + (z₂   – z₁   )²)подставим координаты точек и получаем:         ав                     вс                       ас       √18                         √422                       √440 4.2426407            20.542639              20.97618.как видим, сумма квадратов сторон ав и вс равна квадрату стороны ас. а это признак прямоугольного треугольника.требуемое доказано.