Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 30см. найдите сторону правильного четырёхугольника, шестиугольника, вписанных в ту же окружность.

Формула радиуса описанной вокруг правильного треугольника окружности  r= a: √3если формулу не помните, можно найти радиус иначе.  центр описанной вокруг правильного треугольника окружности находится в точке пересечения его биссектрис ( высот, медиан).  эта точка делит высоту (медиану) в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника. следовательно, радиус такой окружности равен 2/3   высоты правильного треугольника.  сторона   данного  треугольника, найденная из периметра, равна 30: 3=10  см углы правильного треугольника равны 60° h=10(sin(60°)=(10√3) : 2=5√3 r=(5√3)*2 : 3== 10/√3 сторона вписанного правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. следовательно, равна 10/√3. диагональ правильного четырехугольника ( квадрата) равна диаметру описанной вокруг него окружности.  следовательно, сторона а такого   квадрата равна  a=10/√3)*sin(45°)=5√6 

1. зная, что отрезок ам разбит на 4+7=11 частей, находим длину одной части: 22: 11=2 см, значит ан=4*2=8 см 2. рассмотрим треугольник авн: со здесь - средняя линия, поскольку соединяет середины сторон. значит, соiiан и со=1/2ан, со=8/2= 4 см 3. треугольники сво и авн подобны по второму признаку подобия: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами, равны. в нашем случае: вс/ва=во/вн=1/2, а угол в - общий. значит, углы подобных треугольников соответственно равны, и < вос=< вна=105° 4. зная, что развернутый угол анм равен 180°, находим угол внм: < внм=180-< вна=180-105=75

проводим из точки m прямую параллельную bc и получаем сечение (треугольник) mm1t

а)  сразу же скажем, что высоты этих пирамид , т.к они имеют общую вершину

​vtmm1bcvtamm1d=smbcm1samm1d​

остается найти площади этих трапеций: )

сделаем выносной чертеж на плоскость основания, при этом продлим стороны ab и cd до пересечения в точке z (частый прием в 16)

bh1 — высота трапеции.

​am=2mb​ по условию, пусть  ​mb=x​

​ad=2bc​ по условию, пусть  ​bc=y​

из подобия треугольников zbc и adz следует, что  ​zbzb+3x=12​

отсюда  ​zb=3x​

из подобия треугольников zbc и mm1z следует, что  ​ymm1=3x4x​

​mm1=43y​

​bh=4​ — по условию, тогда из подобия треугольников mbh и abh1 следует, что  ​bhbh1=x3x​

отсюда  ​bh1=12​,  ​hh1=12−4=8​

​samm1d=mm1+ad2∗hh1=43y+2y2∗8=40y3​

​smbcm1=mm1+bc2∗4=43y+y2∗4=14y3​

​vtmm1bcvtamm1d=smbcm1samm1d=14y40y=720​

б) нам нужно как-то использовать площадь сечения…

​v=vtmm1bc+vtamm1d=277vtmm1bc​  (из пункта а)

v-объем всей пирамиды

​​vtmm1bcvtmbm1=sbmm1csbmm1​

​sbmm1=0.5∗mm1∗4=83y​

​sbcmm1=143y​

vtmm1bcvtmbm1=sbmm1csbmm1=74​

​vtmm1bc=74vtmbm1=74∗403=703

​vtmbm1=13∗smm1t∗4=403​​

​v=277∗703=90​

ответ: 90