Вравнобедренном треугольнике abc основание ac=4 корня из 7, а боковая сторона равна 8. найдите синус внешнего угла при вершине а.

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.   опустив из вершины в высоту н на ас, получим прямоугольный треугольник авн с катетом ан=ас : 2=2√7, гипотенузой ав=8 и   вторым катетом вн sin a= bh : ab вн=√(ав²-ан²)= √(8²-(2√7)²)= 6 sin a=6: 8=0,75

точка m равноудалена от сторон ромба и находится на расстоянии 2 см от плоскости ромба. найдите расстояние от точки m до стороны ромба, если его диагонали равны 16 см и 12 см.

обозначим ромб авсд, 

расстояние от точки до прямой равно длине отрезка, проведённого перпендикулярно от точки к данной прямой. =>  

отрезок мн перпендикулярен сторонам ромба. мн⊥ав. 

расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра между точкой и плоскостью. ⇒ мо перпендикулярен каждой прямой, проходящей через о в плоскости ромба. 

    т.м равноудалена от сторон ромба, =>    

длина проекции он отрезка мн равна радиусу вписанной в этот ромб окружности, т.е. он равен половине высоты ромба. 

а) диагонали ромба пересекаются под прямы углом и делят его на равные прямоугольные треугольники с катетами, равными их половине. 

по т.пифагора ав=√(он²+ов²)=√(36+64)=10 см

б) по ттп мн⊥ав => он⊥ав. 

он можно найти из площади ∆ аов

ѕ(аов)=оа•ов: 2=24

он=24•2: 2=4,8 

по т.пифагора мн=√(mo²+oh²)=√(4+23,04)=5,2см

Пусть в треугольнике abc ab=12 см, bc=8 см и  ∠abc = 60. найдем сторону ac из теоремы косинусов: ac^2 = ab^2 + bc^2 - 2*ab*bc*cos ∠abc; ac^2 = 144+64 - 2*12*8*0,5; ac^2 = 112; ac = 4 √7.из теоремы синусов получим: ab/sin∠acb = ac/sin∠abc=bc/sin∠bac; отсюда: sin∠acb = ab*sin∠abc/ac = 12/(2*4√7) = 3√7/14. ∠acb = arcsin(3√7/14). sin∠bac = bc*sin∠abc/ac = 8/(2*4√7) = √7/7.  ∠bac = arcsin(√7/7). ответ: 4√7; arcsin(3√7/14); arcsin(√7/7). p. s. за правильность расчетов не ручаюсь. лучше перепроверить.