Втрапеции abcd боковая сторона ab перпендикулярна основанию bc. окружность проходит через точки c и d и касается прямой ab в точке e. найдите расстояние от точки e до прямой cd, если ad=8, bc=4.

Втрапеции abcd боковая сторона ab перпендикулярна основанию bc. окружность проходит через точки c и d и касается прямой ab в точке e. найдите расстояние от точки e до прямой cd, если ad=8, bc=4. есть 4 варианта расположения трапеции и окружности при данных вс и аd. (представлены на рисунках). для всех четырех решение и результат одинаковы: искомое расстояние - это перпендикуляр ef к прямой cd. по условию вс - средняя линия треугольника ads. dc=sc, ab=bs. sd=2dc. тогда по свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем: se² = sd*sc = 2dc²  или se = cd√2. прямоугольные треугольники hdc и fes подобны по острому углу < s=< c (так как нс параллельна as). из подобия треугольников имеем: ef/dh = se/cd  => ef = dh*se/cd. ef=4cd√2/cd = 4√2. или так: ef=se*sin(< esf) =se*sin(< dch). < esf=< dch =α (соответственные углы в подобных треугольниках) α= se*sinα sinα=hd/dc. ef = se*hd/cd. или так: ef=se*cos(< sef) =se*cos(< fda). < sef=< fda =β (соответственные углы в подобных треугольниках) α= se*cosβ cosβ=hd/dc. ef = se*hd/cd. все эти варианты, в принципе, одно и то же. ответ: ef= 4√2. так как решение при любых вариантах расположения окружности и трапеции одинаково, можно решение подобных в общем виде для разных значений вс и ad. решение. пусть вс= а, ad=b. ad> bc. прямоугольные треугольники hdc и fes подобны по острому углу < s=< c (так как нс параллельна as). из подобия имеем: ef/hd = se/cd  => ef = dh*se/cd. следовательно, чтобы найти ef, надо выразить dh, sе и cd через основания трапеции вс и ad. dh=ad-bc = (b-a) (по условию). прямоугольные треугольники asd и bsc подобны по общему острому углу < s. коэффициент подобия равен k=вc/ad=a/b. тогда sc=cd*a/(b-a). sd=sc+cd = cd*(a/(b-a)+cd = cd(a/(b-a) +1)= cd*b/(b-a). по свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем: se² = sd*sc. se² = sd*sc=cd*b/(b-a))*cd*a/(b-a) = cd²*a*b/(b-a)². se = cd*√(a*b)/(b-a). ef=(b-a)*cd*√(a*b)/((b-a)*cd) = √(a*b). ответ: расстояние от точки е до прямой cd равно √(вс*ad) для любых значений вс и ad. еf=√(вс*ad). p.s. для нашего случая ответ: еf= √(4*8) = 4√2.

Роьб авсд, угола=120, ас=6, ас-биссектриса, уголвас=1/2угола=120/2=60, , ноав=вс, тогда все углы треугольника авс=60, треугольник равносторонний, ав=ас=вс=6, ар-высота на вс=радиусу=ав*корень3/2=6*корень3/2=3*корень3, треуггольник асд равносторонний (диагональ ромба делит его на 2 равных треугольнитка),  ат высота на сд, высоты ар и ат в равносторонних треугольниках=биссектрисам , тогда уголрас=60/2=30, уголсат=60/2=30, уголрат=30+30=60- центральный угол сектора,  площадь сектора=пи*радиус в квадрате*центральный угол/360=пи*9*3*60/360=4,5пи

Из точки d проведем высоту dk в треугольнике adc, adc равнобедренный, поэтому dk является так же и медианой. ak=kc, угол bac=30, значит в прямоугольном треугольнике abk катет bk=ab/2 поскольку лежит против угла 30 гр. отсюда bk квадрат равен ab квадрат/4  из теоремы пифагора также вк квадрат=ав квадрат-ак квадрат. то есть авквадрат/4=авквадрат- ак квадрат. подставим ак=ас/2=9. получим ав=27. отсюда вк=ав/2=13,5. в прямоугольном треугольнике дас    дк=кс*tg60=9корней из 3(поскольку угол дск=60 по условию). теперь знаем три стороны треугольника дкв. кв=13,5    кд=9 корень из3        дв=корень из 189. отсюда по теореме косинусов cosдкв=( в квадрат+с квадрат -а квадрат)/2 в с. подставляем cos дкв=((9 корней из3)квадрат+(13,5)квадрат-(корень из 189))/2*(9корней из3)*13,5=0,56. отсюда по таблицам угол дкв между плоскостями треугольников =56 градусов.