Решите . в правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости под углом 30 градусов. сторона основания 12 см. найдите высоту пирамиды.

Пирамида кавс, к-вершина авс-равносторонний треугольник, ав=вс=ас=12, о-центр основания - пересечение медиан=биссектрис=высот, ка=кв=кс, проводим высоту вн, уголкво=30, вн=ав*корень3/2=12*корень3/2=6*корень3, во=2/3вн (медианы при пересечении делятся в отношении 2/1 начиная от вершины), во=6*корень3*2/3=4*корень3 треугольник ков прямоугольный, ко=во*tg30=4*корень3*корень3/3=4-высота пирамиды

Не  знаю, может  быть, есть какое-то чисто   построение,  а  я  придумал  . есть  формулы медиан треугольника: {  m(a)  =  1/2*√(2b^2 +  2c^2  -  a^2) { m(b) = 1/2*√(2a^2 + 2c^2 - b^2) { m(c) = 1/2*√(2b^2 + 2a^2 - c^2) решаем  эту  систему  и  находим  стороны,  формулы    похожи: { a = 2/3*√(2m(b)^2 + 2m(c)^2 - m(a)^2) { b = 2/3*√(2m(a)^2 + 2m(c)^2 - m(b)^2) { c = 2/3*√(2m(b)^2 + 2m(a)^2 - m(c)^2) по  трем  сторонам  построить  треугольник  -  элементарно. 

Проведем отрезок ep || ac. пусть м - точка пересечения отрезков ар и се. тогда треугольники ерм и амс является равносторонними. итак, ер = ем, и мс = ас. но угол caf = 50°, угол acf = 80°, поэтому угол afc = 50°. следовательно, fc = ac = mc. поскольку   угол mcf  = 20°, то угол cfm = углу cmf = 80°. а значит,  угол pfm = (180°-80°)=100°. но угол рас = 60°, угол pca=80°, итак угол mpf = 40°. поэтому угол pmf = 40°.  отсюда следует что pf = mf. треугольник epf = треугольнику emf на основе равенства трех соответствующих сторон. следовательно, угол mef = углу pef = 1/2 * угол mep = 1/2 * 60° = 30° ответ: 30°.