Равнобедренный треугольник с высотой, проведенной к основанию и равной 16 см, вписан в окружность радиуса 10 см. найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону.

Треугольник авс, ав=вс, вн=16=медиане, ан=нс, ао=во=со=10=радиус описанной окружности, он=вн-во=16-10=6, треугольник аон прямоугольный, ан=корень(ао в квадрате-он в квадрате)=корень(100-36)=8, ас=2*ан=2*8=16, площадьавс=1/2*ас*вн=1/2*16*16=128, треугольник авн прямоугольный, ав=корень(вн в квадрате+ан в квадрате)=корень(256+64)=8*корень5=вс

Теорема 1  (теорема пифагора). в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть  c2  =  a2  + b2,где c  — гипотенуза треугольника. теорема 2. для прямоугольного треугольника (рис.  1) верны следующие соотношения: a  = c  cos  β = c  sin  α = b  tg  α = b  ctg  β, где c  — гипотенуза треугольника. теорема 3. пусть ca  и cb  — проекции катетов  a  и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h  — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис.  2). тогда справедливы следующие равенства: h2  = ca∙cb,  a2  = c∙ca, b2  = c∙cb. теорема 4  (теорема косинусов). для произвольного треугольника справедлива формулаa2  = b2  + c2  – 2bc  cos  α. теорема 5. около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. центр описанной окружности лежит внутри тре­угольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис.  3). теорема 6  (теорема синусов). для произвольного треугольника (рис.  4) справедливы соотношения теорема 7. во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис.  5).центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника. теорема 8  (формулы для вычисления площади треугольника). 4последняя формула называется формулой герона. теорема 9  (теорема о биссектрисе внутреннего угла).

Опустим перпендикуляры ор, он и ом на продолжения сторон угла с треугольника авс (на стороны внешних углов авр и ван и сторону ав этого треугольника) .  прямоугольные треугольники орв и омв равны, так как равны их острые углы (ов - биссектриса угла авр), а гипотенуза ов общая. точно так же равны прямоугольные треугольники она и омв, так как равны их острые углы  (оа - биссектриса угла ван), а гипотенуза оа общая. следовательно, катеты ор и он равны, а это значит, что точка о равноудалена от сторон ср и сн угла с. значит прямая ос является биссектрисой угла с. то есть биссектрисы внешних углов при вершинах а и в и биссектриса угла с пересекаются в одной точке. что и требовалось доказать.