Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вписан в окружность. найдите его радиус

Радиусов описанной окружности около прямоугольного треугольника всегда является половина гипотенузы . следовательно,по теореме пифагора гипотенуза =корень из(64+36)=10 следовательно гипотенуза=10 и радиус равен 5

Если прямоугольный треугольник можно вписать в окружность, то его гипотенуза становится диаметром. поэтому через пифагора находим её и делим на 2. 6*6+8*8=36+64=100=10(корень из 100) 10: 2=5 ответ 5

условие

катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты, проведённой к гипотенузе.

также доступны документы в формате tex

подсказка

вычислите указанную высоту, радиус вписанной окружности, расстояние от центра окружности до вершины прямого угла.

также доступны документы в формате tex

решение

первый способ.

пусть r — радиус окружности с центром o, вписанной в прямоугольный треугольник abc с катетами ac = 48 и bc = 36, ch — высота треугольника abc, m и k — точки касания окружности со сторонами ab и ac соответственно, p — проекция центра o на ch. тогда

ab = $\displaystyle \sqrt{ac^{2} + bc^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 36^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{12^{2}(4^{2} + 3^{2})}$ = 60,

om = ok = r = $\displaystyle {\frac{ac + bc - ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{48 + 36 - 60}{2}}$ = 12,

ch = ac . $\displaystyle {\frac{bc}{ab}}$ = 48 . $\displaystyle {\textstyle\frac{36}{60}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{144}{5}}$,

cp = ch - ph = ch - om = ch - r = $\displaystyle {\textstyle\frac{144}{5}}$ - 12 = $\displaystyle {\textstyle\frac{84}{5}}$,

oc = $\displaystyle {\frac{ok}{\sin \angle ock}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sin 45^{\circ}}}$ = r$\displaystyle \sqrt{2}$ = 12$\displaystyle \sqrt{2}$,

следовательно,

op = $\displaystyle \sqrt{oc^{2} - cp^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(12\sqrt{2})^{2} - \left(\frac{84}{5}\right)^{2}}$ = 12$\displaystyle \sqrt{2 - \frac{49}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$.

второй способ.

пусть r — радиус окружности с центром o, вписанной в прямоугольный треугольник abc с катетами ac = 48 и bc = 36, ch — высота треугольника abc, m и k — точки касания окружности со сторонами ab и ac соответственно, p — проекция центра o на ch. тогда

ab = $\displaystyle \sqrt{ac^{2} + bc^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{48^{2} + 36^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{12^{2}(4^{2} + 3^{2})}$ = 60,

om = ok = r = $\displaystyle {\frac{ac + bc - ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{48 + 36 - 60}{2}}$ = 12,

bh = $\displaystyle {\frac{bc^{2}}{ab}}$ = $\displaystyle {\frac{36^{2}}{60}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{5}}$,

bm = bk = bc - ck = bc - r = 36 - 12 = 24,

op = mh = bm - bh = 24 - $\displaystyle {\textstyle\frac{108}{5}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$.

Сумма  углов  трапеции  =  360  градусов. в  равнобедренной  трапеции  углы  при одном  основании  равны. следовательно,  сумма  углов  трапеции  равна =  угол с  +  угол  а  +  угол,  равный углу  с  +  угол,  равный  углу а.  итого  получается выражение  : 4а+а+4а+а  =  360  градусов  =  10а. угол  а  =  360/10  = 36  градусов. угол  с =  36*4  =  144  градуса. угол в = по правилам чертежа, он должен лежать на основании, противоположном основанию, на котором лежит угол а. значит, он равен углу с = 144 градуса,  так  как  угол  с лежит  противоположно  углу  а.