Ребро куба равно 1. найдите объем вписанного в куб шара.

пусть дан прямоугольный треугольник авс с прямым углом а,тогда

высота прямоугольного треугольника вн,проведённая к гипотенузе вс,есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу,т.е. ан= корню квадратному из вн*нс=12(см)

  тогда рассмотрим треугольник ван (прямоугольный, с прямым углом вна), и по теореме пифагора получаем, что ва в квадрате=внквадрат+наквадрат

ва квадрат=9 в квадрате+12   в квадрате, ва квадрат=81+144=225=>

  ва=корень квадратный из 225,ва=15 (см_)

тогда берём первоначальный треугольник   авс и по теореме пифагора находим катет ас,

ас квадрат=вс квадрат-ва квадрат,вс=вн+нс=9+16=25(см)

ас квадрат= 25 в квадрате-15 в квадрате

ас квадрат=625-225=400

ас=корень квадратный из 400=20(см)

ответ: 20 см и 15 см 

продлим линию кр до пересечения с плоскостью авс. пусть точка пересечения o. сделаем проекцию кр на плоскость авс. проекция кр пройдет через вершину а и пересечет линию вс в точке, которую назовем d. точки о, а, d окажутся на одной линии. найдя угол коd, мы найдем угол между плоскостью авс и плоскостью в1кр. ad является высотой в равностороннем треугольнике авс. пусть х - сторона правильной призмы. вычислим ad. так как высота в равностороннем треугольнике является и медианой, то вd=1/2х по теореме пифагора

рассмотрим треугольник коd

в нем ар является средней линией, так как ар=1/2аа1=1/2кd

тогда

таким образом, угол kod=30 градусов

ответ: угол между плоскостью авс и плоскостью в1кр равен 30 градусов.