Биссектрисы углов b и c трапеции abcd пересекаются в точке o, лежащей на стороне ad.докажите, что точка o равноудалена от прямых ab, bc, cd.

проведем из о к указанным сторонам трапеции перпендикуляры к ав -а, к вс - е, к сd-у 

рассмотрим ∆ воа и вое. они прямоугольные , имеют общую гипотенузу во и по равному острому углу при в. 

              если ги­по­те­ну­за и при­ле­жа­щий к ней угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.  ⇒

катет ао = ео

аналогично доказывается равенство катетов ео и уо треугольников сое и соу. 

отрезки оа, ое, оу равны и как  перпендикуляры от точки до прямой, являются расстоянием от  о до  ав, до  вс и до  ad. 

т.е. о - равноудалена от прямых   ав,   вс и ad, ч.т.д.

как вариант: из   теоремы:

каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, следует:  

точка о - общая для   биссектрис двух углов с общей стороной вс, следовательно, равноудалена от прямых, содержащих их стороны. 

Назовем трапецию abcd начиная с левого края большего основания, двигаясь по часовой стрелке.так как центр окружности лежит на большем основании, это значит, что трапеция равнобедренная => большее основание является диаметром окружности. проведем   go перпендикулярно ad. получим угол agd=90 градусов, как угол опирающийся на диаметр. рассмотрим треугольник agd -прямоугольный. пусть ag=x,тогда и gd=x. по теореме пифагора: 400=2 => х=10 . рассмотрим треугольник ago - прямоугольный. по теореме пифагора: go =10. go равно высоте трапеции. получаем s=(bc+ad)go/2= (0,6*20+20)*10/2=160

Дано: абцд - ромб; бд и ац - диагонали; бд пересекает ац в точке о; аб = 13 дм; ац = 24 дм. найти бд.  решение:   рассмотрим треугольник або.  треугольник або - прямоугольный т.к. ао перпендикулярна к бо (по свойству ромба).  ао = ац/2 (по свойству ромба).  ао = 24/2 = 12 дм  по теореме пифагора:   аб^2= бо^2+ао^2  13^2=бо^2+12^2  169=бо^2+144  бо^2=169-144 бо^2=25  бо=корень из 25  бо = 5 дм  бо = бд/2 (по свойству ромба)  следовательно:   бд=2*бо  бд=5*2=10 дм  ответ: вторая диагональ бд =10 дм.