Докажите, что для любого выпуклого четырехугольника сумма диагоналей меньше, чем периметр.

Дан выпуклый четырехугольник abcd. по неравенству треугольника ab + bc > = ac и cd + da > = ac для другой диагонали: bc + cd > = bd и ad + ab > = bd сложим 4 почуненные неравенства: 2ab + 2bc + 2cd + 2da > = 2ac + 2bd ab + bc + cd + da > = ac + bd ч. т. д.

расстояние от точки до прямой измеряется длиной отрезка,  опущенного из точки на прямую перпендикулярно ей.

опустим из а и в перпендикуляры ам и вк  на прямую а. 

∆ ам и ∆ вко - имеют равные гипотенузы и равные (вертикальные) острые углы при о. 

если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

следовательно, ам=вк, что и требовалось доказать. 

Вот сказка, которую я разместила у себя на сайте :   сказка "как  виды параллелограмма  короля выбирали" . собрались как-то раз все четырехугольники, в том числе и  виды параллелограммов,    на лесной полянке и стали выбирать себе короля.спорили они долго, но прийти к единогласию так и не смогли.тогда самый старый параллелограмм сказал: "а давайте мы все отправимся в страну четырехугольников. и кто первым из нас придет туда, тот и станет нашим королем." все согласились, и они отправились в далекие странствия.на пути им встретилась река. и она сказала, что ее смогут переплыть только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. и тогда некоторые из четырехугольников-путешественников остались на берегу. остальные же переправились и пошли дальше. вскоре на пути к цели им встретилась гора. она сказала, что уступит дорогу только тем, у кого равны диагонали. и некоторым из  видов параллелограммов  пришлось остаться у подножия горы. зато остальные смогли продолжить путь. вскоре они добрались до обрыва; но там был узенький мост. и он тоже поставил условие: пропустит только те четырехугольники, у кого диагонали пересекаются под прямым углом.в итоге по мосту прошел только один  вид параллелограмма. именно он первым добрался до желанной страны и был провозглашен королем.