Образующая конуса равна 8 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°найдите полную поверхность конуса?

грани пирамиды наклонены к плоскостью основания под равными углами, следовательно, проекции их высот на основание равны радиусу вписанной в треугольник (основание) окружности.  ⇒ 

высоты боковых граней, как наклонные из одной точки с равными проекциями,  равны.

площадь s полной поверхности пирамиды - сумма площадей основания (s1) и боковой поверхности (s2).

s=s1+s2

в основании пирамиды мавс - равнобедренный треугольник авс;   ав=вс=5 см, ас=6 см. 

высота основания вн делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. 

вн=√(ab²-ah²)=√(25-9)=4

он- радиус вписанной окружности. r=s/p, где р - полупериметр ∆авс. 

s1=bh•ac: 2=12 см²

р=(5+5+6): 2=8 см

r=12/8=1,5 см

мн=он: cos60°=1,5: 1/2=3

s2=3•h=3*8=24 см²

s=12+24=36 см²

обозначим вершины трапеции авсd, ав=сd, аd - вс=4.

опустим высоту вн. высота равнобедренной трапеции, опущенная из тупого угла,  делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности, больший - полусумме оснований. 

ан=4: 2=2. 

вн=ан•tg60°=2√3

вн - диаметр вписанной окружности. r=√3.

продолжив боковые стороны трапеции до их пересечения в точке к, получим равносторонний ∆ акd с вписанной в него окружностью. формула радиуса вписанной в правильный треугольник окржуности 

r=a√3): 6, 

√3=a√3: 6, откуда  а=6. аd=ак=dк=6 

нd=6-ан=4

диагонали равнобедренной трапеции равны. ас=bd

вd•bd=bd²

bd²=bh²+hd²=(2√3)²+4²=28