Основания трапеции равны 4 и 9. найдите больший из отрезков на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей

9×0, 5=

в треугольнике abc ac= bc, k - точка пересечения биссектрис треугольника, а o - точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. отрезок ok пересекает сторону ab в точке e и точкой пересечения делится пополам. найдите углы треугольника abc.

точка к равноудалена от сторон треугольника, поэтому является центром вписанной окружности. 

точка о - равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. точка к лежит на высоте и медиане   к ав ( на срединном перпендикуляре), точка о лежит на срединном перпендикуляре к ав, поэтому с, к, е и о принадлежат одной прямой со. 

т.к. отрезок ко пересекает ав, точка о расположена вне треугольника. 

высота и медиана се  ⊥  ав и делит его пополам. 

соединим точки к и о с вершинами а и в. 

в получившемся четырехугольнике акво отрезки ае=ве, ке=ое. 

треугольники, на которые ко и ав делят этот четырехугольник, прямоугольные и равны по двум катетам. 

следовательно, ак=вк=во=ао, и акво - ромб.  ав - его диагональ и делит его углы пополам. 

пусть ∠еао=α, тогда ∠кае=α, а, так как  ак - биссектриса угла сав, то  ∠сак=∠еак,    и ∠сае=2α.

∆соа - равнобедренный ( по условию оа=ос=ов).

∠оса=∠оас=3α. 

сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

в ∆ сеа ∠сае+∠асе=5α. 

5α=90°, откуда α=90°: 5=18°

∠сав=∠сва=2•18°=36°

∠асв=180°-2•36°=108°.

Пускай центр окружности - точка о. тогда  ∠аос = 2*  ∠β = 2β (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу) ао = ос = 7 (радиусы) точка о - центр описанной окружности есть пересечение серединных перпендикуляров.  пускай ом - есть серединный перпендикуляр проведенный к стороне ас. тогда ом - есть медиана, высота и биссектриса для тр. аос (тр. аос - равнобедр.) ∠аом = 2β/2 =  β (ом- биссектриса) ам = sin∠aom/ao = sinβ/7 ам = мс = ас/2(ом - медиана) ac = 2am = 2sinβ/7