Ребро куба авсда1в1с1д1 равно 4. точка к - середина дд1. точки м и н лежат на ребрах а1в1 и ав соответственно, причем а1м: мв1=1: 3, ан: нв=3: 1. найдите градусную меру угла между прямыми мн и кс.

Впишем куб в систему координат  ,так  ,обозначим стороны куба как   

о - точка пересечения диагоналей и найдем ее координаты

с другой стороны

приравнивая их координаты, получим систему

ответ: х = 5 и у = 3.

Две стороны  √2 и  √3 неизвестная сторона x радиус описанной окружности r полупериметр p = (x + √2 + √3)/2 площадь по формуле герона s² = p(p-a)(p-b)(p-c) s² = 1/2⁴*(x + √2 + √3)(x + √2 + √3  - 2√2)(x + √2 + √3  - 2√3)(x + √2 + √3  - 2x) 16s² =  (x + √2 + √3)(x + √3  - √2)(x + √2  - √3)(√2 + √3  - x) первые две скобки (x + √2 + √3)(x + √3  - √2) = x²  + 2√3*x + 1 третья и четвёртая скобки(x + √2  - √3)(√2 + √3  - x) = -  x²  + 2√3*x - 1 полное произведение(x²  + 2√3*x +   x²  + 2√3*x - 1) = - x⁴ + 10x² - 1 16s² = - x⁴ + 10x² - 1 радиус описанной окружности через площадь и стороны r = abc/(4s) r = x√2√3/(4s) r² = x²*2*3/(16s²) 16s²*r² = 6x² по условию r = x (- x⁴ + 10x² - 1)x² = 6x² - x⁴ + 10x² - 1 = 6 - x⁴ + 10x² - 7 = 0 подстановка  t = x² t² - 10t + 7 = 0 t₁  = (10 - √(100 - 28))/2 = 5 - √72/2 = 5 - √18 = 5 - 3√2  ≈ 0,7574 > 0 x₁ = +√(5 - 3√2) (отрицательный корень отбросили) t₂  = (10 + √(100 - 28))/2 = 5 + 3√2  x₂ = +√(5 + 3√2) (ещё один отрицательный корень отбросили) итого - два ответа √(5 - 3√2) √(5 + 3√2)